[论文解读] New results in $\mathcal{N}=2$ theories from non-perturbative string

Giulio Bonelli, Alba Grassi+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 72被引用 7

一句话总结

本文将非微扰拓扑弦理论扩展至 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 超杨–米尔斯理论，提出一种多切片矩阵模型，用于自对偶 $\Omega$-背景下的 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 超杨–米尔斯理论，将 Nekrasov 分区函数表示为等单蒙德问题的 $\tau$-函数。关键结果是包含了非微扰修正的 $SU(N)$ 分区函数的精确 S duality 变换。

ABSTRACT

We describe the magnetic phase of SU(N) $\mathcal{N}=2$ Super Yang-Mills theories in the self-dual Omega background in terms of a new class of multi-cut matrix models. These arise from a non-perturbative completion of topological strings in the dual four dimensional limit which engineers the gauge theory in the strongly coupled magnetic frame. The corresponding spectral determinants provide natural candidates for the tau functions of isomonodromy problems for flat spectral connections associated to the Seiberg-Witten geometry.

研究动机与目标

• 将非微扰拓扑弦框架扩展至超越 $SU(2)$ 情况的 $SU(N)$ $\mathcal{N}=2$ 超杨–米尔斯理论。
• 在强耦合磁相中，推导出规范理论分区函数的矩阵模型表述。
• 建立 Nekrasov 分区函数作为与 Seiberg-Witten 几何相关的等单蒙德问题 $\tau$-函数的谱行列式表示。
• 计算包含 $\Omega$-背景参数 $\epsilon$ 的非微扰修正的 $SU(N)$ 分区函数的精确 S duality 变换。

提出的方法

• 使用 cgm2 提出的广义矩阵模型方案，对 $Y^{N,0}$ 几何上的拓扑弦进行非微扰补全。
• 推导出具有 $N-1$ 个切片的多切片矩阵模型，其参数为 instanton 数 $M_1, \dots, M_{N-1}$ 以及依赖于 $N$ 的谱移位 $d_i, f_i$。
• 对矩阵模型执行对偶四维极限，得到自对偶 $\Omega$-背景下的 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 规范理论分区函数。
• 将分区函数识别为弗雷德霍姆算子的谱行列式，从而与等单蒙德问题的 $\tau$-函数建立联系。
• 通过谱行列式的大型 $N$ 展开，利用矩阵模型计算高亏格自由能 $F_g^D$。
• 通过谱曲线对偶将矩阵模型与对偶规范理论关联，推导出精确的 S duality 公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $Y^{N,0}$ 几何上的非微扰拓扑弦理论，计算磁相中 $\mathcal{N}=2$ $SU(N)$ 规范理论的分区函数？
• RQ2 在自对偶 $\Omega$-背景中，计算 $SU(N)$ $\mathcal{N}=2$ SYM 的 Nekrasov 分区函数的多切片矩阵模型的显式形式是什么？
• RQ3 矩阵模型的谱行列式与 Seiberg-Witten 曲线相关的 Hitchin 系统的等单蒙德问题 $\tau$-函数有何关联？
• RQ4 矩阵模型表述能否在微扰论之外，给出 $SU(N)$ Nekrasov 分区函数的精确 S duality 变换？
• RQ5 从矩阵模型计算出的高亏格自由能 $F_g^D$ 是什么？它们与已知的规范理论结果相比如何？

主要发现

• 在磁性框架中，$SU(N)$ Nekrasov 分区函数由一个具有 $N-1$ 个切片的多切片矩阵模型给出，其参数为 instanton 数 $M_1, \dots, M_{N-1}$ 以及依赖于 $N$ 的谱移位 $d_i, f_i$。
• 分区函数被表示为弗雷德霍姆算子的谱行列式，从而与与 Seiberg-Witten 曲线相关的 Hitchin 系统的等单蒙德问题 $\tau$-函数建立了直接联系。
• 对于 $SU(4)$，矩阵模型给出了 genus-zero 自由能 $F_0^D(T_1,T_2,T_3)$ 和更高亏格贡献 $F_1^D, F_2^D$ 的显式表达式，与 dp1 中已知的规范理论结果一致。
• 矩阵模型计算了 $SU(N)$ Nekrasov 分区函数的非微扰修正，包括包含 $\epsilon$-依赖非微扰项的精确 S duality 变换。
• 对于 $SU(4)$，genus-zero 自由能 $F_0^D$ 被显式计算，并在将 't Hooft 参数与对偶周期对应后，与 klemmlt 的规范理论结果一致。
• 从矩阵模型推导出高亏格自由能，如 $F_1^D$ 和 $F_2^D$，其中 $F_1^D$ 包含 $T_1, T_2, T_3$ 的对数项和有理项，而 $F_2^D$ 包含模数的反平方项。