[论文解读] New results on approximate Hilbert pairs of wavelet filters with common factors

Sophie Achard, Irène Gannaz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Image and Signal Denoising Methods参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文为通过Thiran公共因子法构建的复小波中的解析近似误差提供了显式解析表达式及紧致界，证明了存在具有任意多消失矩的正交、完美重构小波滤波器。研究结果表明，随着公共因子阶数L的增加，解析性得到改善，解决了长期以来对该广泛使用设计方法的理论验证空白。

ABSTRACT

In this paper, we consider the design of wavelet filters based on the Thiran common-factor approach proposed in Selesnick [2001]. This approach aims at building finite impulseresponse filters of a Hilbert-pair of wavelets serving as real and imaginary part of a complexwavelet. Unfortunately it is not possible to construct wavelets which are both finitelysupported and analytic. The wavelet filters constructed using the common-factor approachare then approximately analytic. Thus, it is of interest to control their analyticity. Thepurpose of this paper is to first provide precise and explicit expressions as well as easilyexploitable bounds for quantifying the analytic approximation of this complex wavelet.Then, we prove the existence of such filters enjoying the classical perfect reconstructionconditions, with arbitrarily many vanishing moments.

研究动机与目标

• 为通过Thiran公共因子方法构建的复小波中的解析近似误差提供精确、显式的表达式。
• 建立关于公共因子阶数L的解析性误差的紧致、易于利用的界。
• 通过公共因子方法，证明存在具有任意多消失矩的正交、完美重构小波滤波器。
• 正式验证Thiran公共因子构造方法，该方法此前缺乏严格的理论证明。
• 通过数值方法评估此类滤波器在解析性近似质量方面的性能。

提出的方法

• 利用应用于公共因子多项式s(y)的Bézout方程框架，推导出解析近似误差的显式公式。
• 建立一个随公共因子阶数L增加而减小的解析性误差界，证明了L越大，近似效果越好。
• 应用Bézout定理来表征定义小波滤波器的多项式方程的所有解，确保在度数约束下解的唯一性。
• 利用Stone-Weierstrass定理，证明存在满足滤波器因式分解所需反对称性和正性约束的多项式q(y)。
• 通过分析多项式s(y)的复根，利用插值和递推关系推导出滤波器系数的显式表达式。
• 通过模拟研究验证理论结果，评估特定公共因子小波的解析性近似性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 Thiran公共因子小波滤波器中解析近似误差的精确数学表达式是什么？
• RQ2 解析性误差如何依赖于公共因子阶数L，能否显式地进行界定？
• RQ3 能否使用公共因子方法构造出具有任意多消失矩的正交、完美重构小波滤波器？
• RQ4 Thiran公共因子构造方法在理论上是否成立，其存在性能否得到严格证明？
• RQ5 不同滤波器设计中解析性近似质量如何变化，能否进行数值量化？

主要发现

• 本文推导出了解析近似误差的显式公式，其表达式基于公共因子多项式s(y)及其根，实现了误差的精确量化。
• 建立了解析性误差的紧致上界，表明该误差随公共因子阶数L的增加而减小，证实了L越大，解析性越好。
• 通过公共因子方法，严格证明了存在具有任意多消失矩的正交、完美重构小波滤波器。
• 通过证明存在满足滤波器因式分解所需反对称性和正性条件的合适多项式q(y)，验证了该构造方法。
• 理论界被证明是非平凡的，并且与y=1/2处的反对称性约束相容，确保了有效解的存在性。
• 数值示例表明，随着L的增加，解析性近似质量得到改善，支持了理论界的正确性。