[论文解读] New Results on Directed Edge Dominating Set

Rémy Belmonte, Tesshu Hanaka+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本论文为有向图上的有向 (p, q)-边支配集问题提出了改进的固定参数可满足（FPT）算法与多项式内核，显著提升了 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 的运行时间。研究证明，当以 p+q+tw 为参数时，(p,q)-dEDS 是 FPT，但当仅以树宽为参数时为 W-难。在竞赛图上，该问题的复杂度取决于 p 和 q，分类为 P、准多项式时间可解或 NP-难（在随机化归约下），其中仅当 (p=q=1) 时为 NP-难。

ABSTRACT

We study a family of generalizations of Edge Dominating Set on directed graphs called Directed (p,q)-Edge Dominating Set. In this problem an arc (u,v) is said to dominate itself, as well as all arcs which are at distance at most q from v, or at distance at most p to u. First, we give significantly improved FPT algorithms for the two most important cases of the problem, (0,1)-dEDS and (1,1)-dEDS (that correspond to versions of Dominating Set on line graphs), as well as polynomial kernels. We also improve the best-known approximation for these cases from logarithmic to constant. In addition, we show that (p,q)-dEDS is FPT parameterized by p+q+tw, but W-hard parameterized just by tw, where tw is the treewidth of the underlying graph of the input. We then go on to focus on the complexity of the problem on tournaments. Here, we provide a complete classification for every possible fixed value of p,q, which shows that the problem exhibits a surprising behavior, including cases which are in P; cases which are solvable in quasi-polynomial time but not in P; and a single case (p=q=1) which is NP-hard (under randomized reductions) and cannot be solved in sub-exponential time, under standard assumptions.

研究动机与目标

• 改进 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 的 FPT 算法与近似比。
• 对 (p,q)-dEDS 的参数化复杂度进行分类，参数为树宽与 p+q。
• 确定所有固定 p,q 值下，(p,q)-dEDS 在竞赛图上的精确复杂度。
• 证明 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 存在多项式内核，并展示其他情况下的 W-难性。

提出的方法

• 提出一种新颖的分支策略，分别实现 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 的 2^k 和 9^k FPT 算法，优于先前的 25^10k 上界。
• 利用结构图论与树分解上的动态规划，证明当以 p+q+tw 为参数时，(p,q)-dEDS 为 FPT。
• 对小顶点子集进行穷举搜索，当 max{p,q} = 2 且 p,q ≠ 1 时，实现 (p,q)-dEDS 的准多项式时间求解。
• 在竞赛图中利用王顶点性质与强连通分量分解，推导出多项式时间算法。
• 通过反转弧来利用对称性，将 (p,q)-dEDS 归约为 (q,p)-dEDS，当 p > q 时适用。
• 运用规约规则与内核化技术，为 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 推导出多项式内核。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Hanaka 等人（2019）提出的 25^10k 上限之外，显著改进 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 的 FPT 算法？
• RQ2 是否可能为 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 构造多项式内核？当 p+q 较小时，其参数化复杂度如何？
• RQ3 当以 p+q+tw 为参数时，(p,q)-dEDS 是否为 FPT？若仅以树宽为参数，结果如何？
• RQ4 对于所有固定 p,q 值，(p,q)-dEDS 在竞赛图上的精确复杂度是什么？
• RQ5 为何 (p=q=1)-dEDS 是竞赛图上唯一的 NP-难情况？P、准多项式与 NP-难情况之间的二分性由何解释？

主要发现

• 本论文提出 (0,1)-dEDS 的 2^k FPT 算法，优于 Hanaka 等人（2019）的 25^10k 上限。
• 提出 (1,1)-dEDS 的 9^k FPT 算法，显著优于先前的 25^10k 上限。
• 为 (0,1)-dEDS 和 (1,1)-dEDS 分别建立了大小为 O(k) 和 O(k^2) 的多项式内核。
• 为 (1,1)-dEDS 提供了 8-近似算法，优于 Hanaka 等人（2019）的 O(log n)-近似。
• 为 (0,1)-dEDS 提供了 3-近似算法，同样优于先前的对数近似。
• 在竞赛图上，当 p+q ≤1 或 max{p,q} ≥3 且 2 ∉{p,q} 时，(p,q)-dEDS 属于 P；当 max{p,q}=2 且 p,q ≠1 时，可在准多项式时间内求解；仅当 p=q=1 时为 NP-难（在随机化归约下）。