[论文解读] New results on noncompact harmonic manifolds

Gerhard Knieper|ArXiv.org|Oct 20, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于单连通、非紧、非平坦的调和流形，纯粹的指数体积增长、秩为一、Gromov双曲性以及Anosov测地流四者等价。此外，该文进一步证明了无焦点点的非平坦调和流形的测地流为Anosov流，从而证实了对具有此类性质的紧致调和流形的Lichnerowicz猜想。

ABSTRACT

The Lichnerowicz conjecture asserts that all harmonic manifolds are either flat or locally symmetric spaces of rank~1. This conjecture has been proved by Z. Szabó \cite{Sz} for harmonic manifolds with compact universal cover. E. Damek and F. Ricci \cite{DR} provided examples showing that in the noncompact case the conjecture is wrong. However, such manifolds do not admit a compact quotient. In this paper we study, using a notion of rank, the asymptotic geometry and the geodesic flow on simply connected nonflat and noncompact harmonic manifolds denoted by $X$. In the first part of the paper we show that the following assertions are equivalent. The volume growth is purely exponential, the rank of $X$ is one, the geodesic flow is Anosov with respect to the Sasaki metric, $X$ is Gromov hyperbolic. In the second part of the paper we show that the geodesic flow is Anosov if $X$ is a nonflat harmonic manifold with no focal points. In the course of the proof we obtain that certain partially hyperbolic flows on arbitrary Riemannian manifolds without focal points are Anosov, which is of interest beyond harmonic manifolds. Combining the results of this paper with the rigidity theorem's of \cite{BCG}, \cite{BFL} and \cite{FL}, we confirm the Lichnerowicz conjecture for all compact harmonic manifolds without focal points or with Gromov hyperbolic fundamental groups.

研究动机与目标

• 通过识别使紧致调和流形必为局部对称的条件，解决紧致调和流形的Lichnerowicz猜想。
• 研究单连通、非紧、非平坦调和流形上的渐近几何与测地流。
• 阐明秩与水平截面平均曲率在决定体积增长行为中的作用。
• 建立无焦点点的调和流形具有Anosov测地流的结论，将该性质从对称空间推广至更广范围。

提出的方法

• 为无共轭点的流形引入广义的秩概念，将经典秩概念从非正曲率空间推广。
• 利用Jacobi张量分析，将测地线发散行为与曲率及体积增长联系起来，特别是通过沿测地线演化对称张量。
• 应用Sasaki度量研究测地流，并证明Anosov性等价于秩为一与纯指数体积增长。
• 利用横截性与有界曲率假设，证明无焦点点流形上的测地流为部分双曲，再通过几何论证证明其为完全Anosov。
• 结合Besson-Courtois-Gallot与Benoist-Foulon-Labourie的刚性定理，推导出具有Gromov双曲基本群或无焦点点的紧致调和流形必为局部对称。
• 利用稳定与不稳定Jacobi张量的Wronskian，导出关联流导数与曲率及几何的恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧、单连通的调和流形中，纯粹指数体积增长、秩为一、Gromov双曲性与Anosov测地流是否等价？
• RQ2 若调和流形无焦点点，是否意味着其测地流为Anosov？
• RQ3 Lichnerowicz猜想能否在无焦点点或具有Gromov双曲基本群的紧致调和流形上得到证实？
• RQ4 非紧致调和流形中，水平截面的平均曲率与体积增长速率之间有何关系？
• RQ5 无焦点点的调和流形的秩是否恒定？其是否蕴含Anosov动力系统？

主要发现

• 对于非紧、单连通、非平坦的调和流形，以下条件等价：纯粹指数体积增长、秩为一、Gromov双曲性与Anosov测地流。
• 若调和流形无焦点点，则其测地流为Anosov，将Anosov性质从对称空间推广至更广范围。
• 所有无焦点点的调和流形均具有常数秩，且在奇数维中该秩必为一。
• 若一个无焦点点的调和流形存在紧致商流形，则其必具有常负曲率。
• 在有界曲率与横截性条件下，任何无焦点点且具有常数秩的黎曼流形上的测地流均为Anosov。
• 结合前述结果与已有刚性定理，证实了所有无焦点点或具有Gromov双曲基本群的紧致调和流形均满足Lichnerowicz猜想。