[论文解读] New RIC Bounds via l_q-minimization with 0<q<=1 in Compressed Sensing.

Shenglong Zhou, Lingchen Kong+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2013

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文为 0 < q ≤ 1 时的 ℓq-最小化方法在精确稀疏信号恢复中建立了改进的有界等距常数（RIC）边界。通过引入一种新颖的 ℓq-范数不等式并分析稀疏向量的结构，推导出比以往工作更紧致的边界，表明当 δtk < √(t−1)/t（t > 1）时，可保证精确恢复；并针对 q ∈ (0, 1/2) 和 q ∈ (1/2, 1) 分别给出 δ2k 的改进边界，分别为 0.5547 和 0.6782；当 q = 1/2 或 q = 1 时，对于偶数 k 有 δk < 1/3，对于奇数 k ≥ 3 有 δk < 0.3203。

ABSTRACT

The restricted isometry constants (RICs) play an important role in exact recovery theory of sparse signals via l_q(0<q<=1) relaxations in compressed sensing. Recently, Cai and Zhang[6] have achieved a sharp bound \delta_tk<\sqrt{1-1/t} for t>=4/3 to guarantee the exact recovery of k sparse signals through the l_1 minimization. This paper aims to establish new RICs bounds via l_q(0<q<=1) relaxation. Based on a key inequality on l_q norm, we show that (i) the exact recovery can be succeeded via l_{1/2} and l_1 minimizations if \delta_tk<\sqrt{1-1/t} for any t>1, (ii)several sufficient conditions can be derived, such as for any 0<q<1/2, \delta_2k<0.5547 when k>=2, for any 1/2<q<1, \delta_2k<0.6782 when k>=1, (iii) the bound on \delta_k is given as well for any 0<q<=1, especially for q=1/2,1, we obtain \delta_k<1/3 when k(>=2) is even or \delta_k<0.3203 when k(>=3) is odd.

研究动机与目标

• 改进现有针对 0 < q ≤ 1 时 ℓq-最小化方法的精确稀疏信号恢复的受限等距常数（RIC）边界。
• 将 ℓ1-最小化中获得的尖锐边界 δ2k < √2/2 推广至 ℓ1/2-最小化及其他 ℓq-松弛方法。
• 推导出更紧致、与 q 相关的精确恢复充分条件，优于文献中已有结果。
• 为偶数和奇数 k 建立明确的 δk 边界，尤其针对 q = 1/2 和 q = 1 的情形。
• 统一并优化 ℓq-最小化实现 k-稀疏信号精确恢复的理论条件。

提出的方法

• 推导出 ℓ1、ℓq、ℓ∞ 和 ℓ−∞ 范数之间的一个关键不等式：∥x∥1 ≤ ∥x∥q / (n^{1/q−1}) + p_q n (∥x∥∞ − ∥x∥−∞)，其中 p_q = q^{q/(1−q)} − q^{1/(1−q)}，q ∈ (0,1]。
• 将该不等式应用于将残差向量 h = x − x* 分解为 h−max(k) 和 hmax(k) 两部分，重点分析最大 k 个分量的 ℓ1 范数。
• 利用多面体表示引理（引理 II.1）将 h−max(k) 表示为有界 ℓ∞-范数的稀疏向量的凸组合。
• 引入一个参数化向量族 ηi = hmax(k) + h(1) + μui，以在变分框架中利用 RIP 和 ROC 性质。
• 采用受限正交性常数（ROC）框架，对 Φhmax(k) 与 Φh−max(k) 之间的内积进行上界估计，建立 δk 与 θk,k 之间的联系。
• 通过假设 ∥hmax(k)∥q^q ≥ ∥h−max(k)∥q^q 导出矛盾，从而得到一个严格正的条件，该条件与 Φh = 0 矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 ℓ1-最小化中获得的尖锐边界 δ2k < √2/2 能否推广至 0 < q ≤ 1 的 ℓq-最小化？
• RQ2 对于 q ∈ (0,1) 的 ℓq-最小化，能保证精确恢复的最紧致 RIC 边界 δ2k 是什么？
• RQ3 δk 的边界如何依赖于稀疏度 k 和 q ∈ (0,1] 的选择，特别是当 q = 1/2 和 q = 1 时？
• RQ4 能否利用 ℓq-范数与受限等距性质之间的关系，推导出改进的精确恢复充分条件？
• RQ5 k 的奇偶性（偶数与奇数）对 ℓ1/2 和 ℓ1 最小化中可实现的 δk 边界有何影响？

主要发现

• 对于任意 t > 1，若 δtk < √(t−1)/t，则 ℓ1/2 和 ℓ1 最小化均可保证 k-稀疏信号的精确恢复。
• 对于任意 q ∈ (0, 1/2)，当 k ≥ 2 时，精确恢复的充分条件为 δ2k < 0.5547。
• 对于任意 q ∈ (1/2, 1)，当 k ≥ 1 时，精确恢复的充分条件为 δ2k < 0.6782。
• 当 q = 1/2 时，若 k ≥ 2 且 k 为偶数，则 δk < 1/3；若 k ≥ 3 且 k 为奇数，则 δk < 0.3203。
• 当 q = 1 时，若 k ≥ 3 且 k 为奇数，则 δk < 0.3203；若 k ≥ 2 且 k 为偶数，则 δk < 1/3。
• 所推导的边界优于以往结果，例如文献 [16] 中的 δ2k < 0.4531 和文献 [20] 中的 δ2k < 0.5，尤其在 q ∈ (0, 1/2) 时更为显著。