[论文解读] New SAV-pressure correction methods for the Navier-Stokes equations: stability and error analysis

Xiaoli Li, Jie Shen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 34被引用 10

一句话总结

本论文提出了一种基于标量辅助变量（SAV）方法的新型一阶与二阶压力校正格式，用于求解Navier-Stokes方程。该格式具有线性、解耦、无条件能量稳定的特点，并在无需时间步长限制的情况下实现了最优误差估计，是首个针对Navier-Stokes方程采用显式非线性项处理且具备无条件能量稳定性的此类方法。

ABSTRACT

We construct new first- and second-order pressure correction schemes using the scalar auxiliary variable (SAV) approach for the Navier-Stokes equations. These schemes are linear, decoupled and only require a sequence of solving Poisson type equations at each time step. Furthermore, they are unconditionally energy stable. We also establish rigorous error estimates for the velocity and pressure approximation of the first-order scheme without any condition on the time step.

研究动机与目标

• 开发用于不可压缩Navier-Stokes方程的无条件能量稳定、线性且解耦的时间离散化格式。
• 通过引入压力校正策略，克服先前基于SAV方法的格式中存在的不稳定性和非线性代数方程问题。
• 为一阶格式建立严格的误差估计，且无需时间步长限制。
• 将SAV方法拓展至二阶压力校正格式，并保持无条件能量稳定性。
• 为不可压缩流体的长时间模拟提供一种鲁棒、高效且稳定的框架。

提出的方法

• 采用SAV方法构建一阶压力校正格式，将速度与压力的求解解耦为泊松型方程。
• 引入旋转向量压力校正格式，以实现时间方向的二阶精度。
• 利用标量辅助变量显式处理非线性对流项，同时保持能量稳定性。
• 在每个时间步构造仅含常系数泊松方程的线性系统，以提高效率。
• 通过构造改进的能量泛函，为一阶与二阶格式均推导出无条件能量稳定性。
• 采用投影型策略实现速度与压力更新的解耦，避免求解鞍点问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Navier-Stokes方程构造一种线性、解耦且无条件能量稳定的格式，同时显式处理非线性项？
• RQ2 新提出的压力校正格式是否消除了基于SAV方法中每时间步求解非线性代数方程的需求？
• RQ3 能否为一阶SAV-压力校正格式推导出无需时间步长限制的最优误差估计？
• RQ4 二阶SAV-压力校正格式是否仍保持无条件能量稳定性？
• RQ5 与标准投影方法相比，旋转向量压力校正格式在精度与稳定性方面有何改进？

主要发现

• 一阶SAV-压力校正格式在速度与压力上均实现了时间方向的一阶最优收敛率，且对时间步长无限制。
• 二阶格式在压力的$L^2$范数下呈现近乎二阶的收敛率，速度与SAV变量在$L^\infty$范数下达到二阶收敛。
• 该格式具有无条件能量稳定性，能量耗散特性不依赖于时间步长大小。
• 新格式消除了每时间步求解非线性代数方程的需求，显著提升了数值鲁棒性与计算效率。
• 数值结果表明，新格式在示例1与示例2中均表现出与理论预测一致的误差与收敛率。
• 与早期SAV格式相比，所提方法在稳定性与精度方面表现更优，尤其得益于通过压力校正实现的线性化与解耦。