[论文解读] New sharp Jordan type inequalities and their applications

Zhen-Hang Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2012

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 10被引用 13

一句话总结

本文在区间 $ (0, \pi/2) $ 上建立了关于 $\frac{\sin x}{x}$ 的新型精确 Jordan 型不等式，证明了不等式 $ \left(\cos p_0 x\right)^{1/p_0} < \frac{\sin x}{x} < \left(\cos \frac{x}{3}\right)^3 $ 成立，其中最优常数 $ p_0 \approx 0.3473 $。文章进一步推导出涉及 $ \left(\cos px\right)^{1/p} $ 的最优双侧不等式，通过分析对数导数与幂级数方法，确定了单调性与精确边界。

ABSTRACT

In this paper, we prove that for x\in(0,π/2) (cos p_0x)^{1/p_0}

研究动机与目标

• 确定最优常数 $ p_0 $ 与 $ 1/3 $，使得对所有 $ x \in (0, \pi/2) $，不等式 $ \left(\cos p_0 x\right)^{1/p_0} < \frac{\sin x}{x} < \left(\cos \frac{x}{3}\right)^3 $ 成立。
• 建立如下形式的最优双侧不等式：$ \beta_p \left(\cos px\right)^{1/p} < \frac{\sin x}{x} < \left(\cos px\right)^{1/p} $，其中 $ p \in (0, 1/3] $，且 $ \beta_p = \frac{2}{\pi} \left(\cos \frac{p\pi}{2}\right)^{-1/p} $，并证明其最优性。
• 将这些不等式推广至 $ p \in [1/2, 1] $ 的反向不等式，并推导其在 Catalan 常数与 Schwab-Borchardt 平均值等已知常数中的应用。
• 分析函数 $ f_p(x) = \ln \frac{\sin x}{x} - \frac{1}{p} \ln \cos px $ 的单调性，证明其在 $ p \in (0, 1/3] $ 时严格递减，在 $ p \in [1/2, 1] $ 时严格递增。

提出的方法

• 本文利用 $ \frac{\sin x}{x} $ 与 $ \cos px $ 的对数导数，通过分析比值 $ \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{p(\frac{1}{x} - \cot x)}{\tan px} $ 来判断单调性，方法基于 $ \cot x $ 与 $ \tan x $ 的幂级数展开。
• 应用引理 2（关于幂级数系数比值的性质），证明了级数展开中系数比值 $ \frac{a_n}{b_n} $ 严格递增或递减，从而确立 $ f'/g' $ 的单调性，进而确定 $ F_p(x) = \frac{\ln(\sin x / x)}{\ln \cos px} $ 的单调性。
• 通过计算 $ x \to 0^+ $ 与 $ x \to \pi/2^- $ 时的极限，并借助渐近分析，证明常数 $ \beta_p $ 与 $ 1 $ 的最优性。
• 结合 $ \frac{\sin x}{x} $ 与 $ \frac{x}{\sin x} $ 的积分表示，利用所导出的不等式，对与 Catalan 常数 $ K $ 相关的积分进行估计。
• 应用已知不等式（如 Lin 的对数平均不等式）与三角恒等式，推导出 Schwab-Borchardt 平均值与 Seiffert 平均值的界。
• 单调性证明依赖于分析差值 $ \frac{b_{n+1}}{a_{n+1}} - \frac{b_n}{a_n} $ 的符号，该差值可化为关于 $ p $ 的函数，并确定其正负性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ (0,1] $ 中，使得对所有 $ x \in (0, \pi/2) $ 满足 $ \left(\cos p_0 x\right)^{1/p_0} < \frac{\sin x}{x} $ 的最优常数 $ p_0 $ 是多少？
• RQ2 对于哪些 $ p \in (0,1] $，双侧不等式 $ \beta_p \left(\cos px\right)^{1/p} < \frac{\sin x}{x} < \left(\cos px\right)^{1/p} $ 成立且常数最优？
• RQ3 函数 $ f_p(x) = \ln \frac{\sin x}{x} - \frac{1}{p} \ln \cos px $ 的单调性如何依赖于 $ p $？这对 $ \frac{\sin x}{x} $ 的边界意味着什么？
• RQ4 所导出的不等式能否用于对已知数学常数（如 Catalan 常数 $ K $）进行更优的估计？
• RQ5 这些不等式对经典平均值（如 Schwab-Borchardt 平均值与 Seiffert 平均值）有何影响？

主要发现

• 找到最优常数 $ p_0 \approx 0.347307245464 $，使得对所有 $ x \in (0, \pi/2) $，不等式 $ \left(\cos p_0 x\right)^{1/p_0} < \frac{\sin x}{x} < \left(\cos \frac{x}{3}\right)^3 $ 成立，且等号仅在 $ x \to 0^+ $ 时取极限。
• 对于 $ p \in (0, 1/3] $，双侧不等式 $ \beta_p \left(\cos px\right)^{1/p} < \frac{\sin x}{x} < \left(\cos px\right)^{1/p} $ 成立，其中 $ \beta_p = \frac{2}{\pi} \left( \cos \frac{p\pi}{2} \right)^{-1/p} $，且两个常数均为最优。
• 函数 $ f_p(x) = \ln \frac{\sin x}{x} - \frac{1}{p} \ln \cos px $ 在 $ (0, \pi/2) $ 上对 $ p \in (0, 1/3] $ 严格递减，对 $ p \in [1/2, 1] $ 严格递增，该性质证实了边界的最优性。
• 本文推导出 Catalan 常数 $ K $ 的两个新界：$ \frac{1}{8}(4 + 3\ln 3) < K < \frac{3\sqrt{3}\pi}{128}(4 + 3\ln 3) $，并得到一个更紧的涉及对数与三角积分的界。
• 证明了对所有 $ t > 0 $，不等式 $ (4t^2 - 1) SB(t,1) \leq 3t^3 $ 成立，其中 $ SB $ 表示 Schwab-Borchardt 平均值，将主要结果推广至特殊平均值的应用。
• Seiffert 平均值 $ P(a,b) $ 满足不等式 $ P < \frac{3}{4} \frac{(A+G)^2}{2G + A} $，其中 $ a,b > 0 $，$ a \neq b $，且 $ A $ 与 $ G $ 分别为算术平均与几何平均。