[论文解读] New Stability Results and Algorithms for Block Tridiagonal Systems, with Applications to Kalman Smoothing

Aleksandr Y. Aravkin, BRADLEY B. BELL+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文建立了块三对角系统条件数与卡尔曼平滑稳定性之间的联系，揭示了不稳定公式产生的原因及其稳定方法。证明了前向 Rauch-Tung-Striebel 平滑器实现了具有有界递归块条件数的前向 Thomas 算法，并提出了一种新的反向块三对角 Thomas 算法，确保无论系统条件数如何都能保持稳定。

ABSTRACT

Block tridiagonal systems play a key role in all Kalman smoothing applications, including the classic Rauch-Tung-Striebel smoother, as well as more modern variants that incorporate nonlinear models, inequality constraints on the state, and robust penalties on state and measurement components. The paper begins with a fundamental result that connects the condition number of a common block tridiagonal system to properties of the individual blocks. As a consequence, we obtain sufficient conditions for the stability of Kalman smoothing formulations. The result also illustrates how unstable Kalman smoothing problems can arise, and how to easily stabilize them. Then, turning our attention to algorithms, it is shown that the classic Rauch-Tung-Striebel smoother is an implementation of the forward Thomas algorithm for block tridiagonal systems. A flaw in the existing theory for characterizing the stability of the algorithm is revealed. A remedy is provided by proving a new stability result which shows that the condition number of every recursively modified block is bounded by the condition number of the whole system as the algorithm proceeds. Finally, a new backward block tridiagonal Thomas algorithm is presented. It is demonstrate that this algorithm behaves stably independent of the condition number of the full block tridiagonal system.

研究动机与目标

• 建立块三对角系统条件数与卡尔曼平滑公式稳定性之间的理论联系。
• 识别卡尔曼平滑中不稳定的根源，并提供稳定化的充分条件。
• 揭示并修正现有理论中关于前向 Thomas 算法在块三对角系统上稳定性分析的缺陷。
• 设计一种新的反向块三对角 Thomas 算法，确保无论系统条件数如何都能实现数值稳定。

提出的方法

• 本文推导出一个基本结果，将块三对角系统的条件数与其各个块的性质联系起来，从而实现稳定性分析。
• 证明了经典 Rauch-Tung-Striebel 平滑器等价于块三对角系统上的前向 Thomas 算法。
• 证明了一个新的稳定性结果，表明在算法执行过程中，每个递归修改后的块的条件数始终被全系统条件数所限制。
• 提出了一种新颖的反向块三对角 Thomas 算法，通过反向处理系统以确保稳定性与原始系统的条件数无关。
• 利用理论分析比较了在不同条件数下前向与反向算法的稳定性表现。
• 通过将其应用于卡尔曼平滑（包括非线性和约束变体）对理论与算法发展进行了验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 块三对角系统的条件数如何影响卡尔曼平滑公式的稳定性？
• RQ2 现有理论对前向 Thomas 算法在块三对角系统上稳定性的表征中存在哪些缺陷？
• RQ3 能否设计一种反向块三对角算法，以确保无论系统条件数如何都能保持稳定？
• RQ4 单个块的性质如何影响卡尔曼平滑中块三对角系统的整体稳定性？
• RQ5 稳定病态卡尔曼平滑问题的充分条件是什么？

主要发现

• 在前向 Thomas 算法执行过程中，全块三对角系统的条件数界定了每个递归修改块的条件数，从而在该界内确保了稳定性。
• 正式证明了经典 Rauch-Tung-Striebel 平滑器是块三对角系统上前向 Thomas 算法的实现。
• 识别出现有稳定性理论中关于前向算法的缺陷，并通过一个新稳定性结果予以修正。
• 所提出的反向块三对角 Thomas 算法表现出与全系统条件数无关的稳定行为。
• 该新算法即使在系统高度病态时也能实现卡尔曼平滑问题的鲁棒求解。
• 理论框架通过分析块的性质，为稳定不稳定的卡尔曼平滑公式提供了清晰的充分条件。