[论文解读] New sufficient conditions of existence, moment estimations and non confluence for SDEs with non-Lipschitzian coefficients

Guangqiang Lan, Jiang-Lun Wu|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文为具有非Lipschitz随机系数的随机微分方程（SDEs）的强解的存在性、唯一性及矩估计建立了新的充分条件。通过引入一个涉及函数 η_R 的局部弱单调性条件，并结合∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞ 的可积性条件，以及欧拉逼近方法，作者证明了路径唯一性与非爆炸性，同时通过测试函数方法与Gronwall型不等式，建立了时齐SDEs的非汇聚性（非接触）性质。

ABSTRACT

The object of the present paper is to find new sufficient conditions for the existence of unique strong solutions to a class of (time-inhomogeneous) stochastic differential equations with random, non-Lipschitzian coefficients. We give an example to show that our conditions are indeed weaker than those relevant conditions existing in the literature. We also derive moment estimations for the maximum process of the solution. Finally, we present a sufficient condition to ensure the non confluence property of the solution of time-homogeneous SDE which, in one dimension, is nothing but stochastic monotone property of the solution.

研究动机与目标

• 为具有非Lipschitz随机系数的时变非齐次SDEs，建立强解存在性与唯一性的新充分条件。
• 在弱于现有文献的条件下，推导解的最大过程的矩估计。
• 提供一个确保时齐SDEs解的非汇聚性（非接触）性质的充分条件，该条件在单维情形下等价于随机单调性。
• 通过实例表明，所提出的条件严格弱于文献中已知条件，如[2]与[16]中的条件。

提出的方法

• 引入一个涉及函数 η_R 的局部弱单调性条件，其中满足∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞，该条件推广了经典的Lipschitz型假设。
• 使用SDE的欧拉逼近格式，并通过一致紧致性与逼近序列的紧致性证明收敛性。
• 应用伊腾公式，结合一个精心构造的测试函数 Φ_δ(x) = exp(∫ₓ^{c₀} ds/(γ_R(s) + δ))，分析两个解之间距离过程的性质。
• 在测试函数的期望上应用Gronwall型不等式，以控制解路径相遇的概率，从而证明非汇聚性。
• 引入停时 τ_R, τ_ε, 和 τ_ζ 对过程进行局部化，以控制爆炸与汇聚事件。
• 利用强马氏性质与路径唯一性，将非汇聚性结果从初始时间区间推广至更长的时间范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以存在比经典Lipschitz或线性增长假设更弱的充分条件，以保证具有非Lipschitz系数的SDEs的强解存在性与唯一性？
• RQ2 在非Lipschitz条件下，解的最大过程可导出何种矩估计？
• RQ3 在何种条件下，时齐SDE的解可避免汇聚（即路径不相交）？
• RQ4 是否可通过测试函数与随机分析技术，在不依赖全局Lipschitz连续性的前提下，建立非汇聚性？

主要发现

• 所提出的局部弱单调性条件（1.3）中满足∫₀⁺ dx/η_R(x) = ∞，其严格弱于文献中已知条件，通过反例验证：已知条件不成立但新条件仍成立。
• 作者在新条件（1.3）下，通过欧拉逼近与紧致性论证，证明了强解的存在性与路径唯一性。
• 推导了解的最大过程的矩估计，但未给出显式闭式表达。
• 在条件（1.5）下，保证了解不爆炸，该条件通过函数 γ 满足∫_K^∞ dx/(γ(x)+1) = ∞，推广了线性增长条件。
• 通过测试函数与Gronwall引理，证明了时齐SDEs的非汇聚性，即两解相遇的概率为零。
• 证明表明解过程为Feller过程并具有强马氏性质，从而可将非汇聚性结果推广至连续时间区间。