[论文解读] New topics in ergodic theory

Francesco Fidaleo|ArXiv.org|Feb 5, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文基于紧算子的 $C^*$-动力系统，建立了多个Cesàro平均在弱算子拓扑下的收敛性，证明了由酉算子实现的自同构的时间平均收敛到该酉算子的谱投影生成的子代数上的条件期望。关键结果是弱混合动力系统下正紧算子的递推不等式，确保了多重相关性的长期平均为正。

ABSTRACT

The entangled ergodic theorem concerns the study of the convergence in the strong, or merely weak operator topology, of the multiple Cesaro mean $$\frac{1}{N^{k}}\sum_{n_{1},...,n_{k}=0}^{N-1} U^{n_{\a(1)}}A_{1}U^{n_{\a(2)}}... U^{n_{\a(2k-1)}}A_{2k-1}U^{n_{\a(2k)}} ,$$ where $U$ is a unitary operator acting on the Hilbert space $H$, $\a:\{1,..., m\}\mapsto\{1,..., k\}$ is a partition of the set made of $m$ elements in $k$ parts, and finally $A_{1},...,A_{2k-1}$ are bounded operators acting on $H$. While reviewing recent results about the entangled ergodic theorem, we provide some natural applications to dynamical systems based on compact operators. Namely, let $(\mathfrak A,α)$ be a $C^{*}$--dynamical system, where $\mathfrak A=K(H)$, and $α=ad(U)$ is an automorphism implemented by the unitary $U$. We show that $$\lim_{N o+\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}α^{n}=E ,$$ pointwise in the weak topology of $\K(H)$. Here, $E$ is a conditional expectation projecting onto the $C^{*}$--subalgebra $$\bigg(\bigoplus_{z\inσ_{\mathop{ m pp}}(U)} E_{z}B(H)E_{z}\bigg)\bigcap K(H) .$$ If in addition $U$ is weakly mixing with $Ω\in H$ the unique up to a phase, invariant vector under $U$ and $ω=$, we have the following recurrence result. If $A\in K(H)$ fulfils $ω(A)>0$, and $00$$ for each $N>N_{0}$.

研究动机与目标

• 研究由紧算子 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 生成的 $C^*$-动力系统的遍历性质。
• 确定由酉算子 $U$ 在 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上实现的自同构的时间平均的收敛行为。
• 利用纠缠遍历定理，建立弱混合系统中正紧算子的递推结果。
• 刻画Cesàro平均极限作为与酉算子纯点谱相关的特定 $C^*$-子代数上的条件期望。

提出的方法

• 利用纠缠遍历定理分析涉及酉算子 $U$ 的幂与有界算子 $A_i$ 的多个算子平均的收敛性。
• 应用谱理论将希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 分解为对应于特征值 $z \in \sigma_{\text{pp}}(U)$ 的谱子空间 $E_z\mathcal{H}$。
• 构造一个条件期望 $E$，映射到 $\left(\bigoplus_{z \in \sigma_{\text{pp}}(U)} E_z \mathcal{B}(\mathcal{H}) E_z\right) \cap \mathcal{K}(\mathcal{H})$。
• 采用弱算子拓扑收敛性与迹类逼近技术，将收敛性从紧算子推广到一般迹类算子。
• 通过极化与有限秩逼近，将分析简化为对秩一正算子的处理。
• 应用平均遍历定理与谱投影技术，证明多重相关性平均收敛到 $\omega(A)^{l+1} > 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于由 $\alpha = \text{Ad}_U$ 实现的自同构，Cesàro平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n$ 是否在 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上的弱拓扑下收敛？
• RQ2 当 $\alpha$ 由 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上的酉算子 $U$ 实现时，极限算子的精确形式是什么？
• RQ3 在弱混合动力系统下，能否为正紧算子的多重相关性建立类似递推的不等式？
• RQ4 酉算子 $U$ 的纯点谱如何影响 $\alpha^n$ 时间平均的极限结构？
• RQ5 在何种条件下，平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A\alpha^{nm_1}(A)\cdots\alpha^{nm_l}(A))$ 对于大 $N$ 保持为正？

主要发现

• Cesàro平均 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\alpha^n$ 在 $\mathcal{K}(\mathcal{H})$ 上的弱算子拓扑下收敛到条件期望 $E$，其定义域为 $C^*$-子代数 $\left(\bigoplus_{z \in \sigma_{\text{pp}}(U)} E_z \mathcal{B}(\mathcal{H}) E_z\right) \cap \mathcal{K}(\mathcal{H})$。
• 若 $\sigma_{\text{pp}}(U) = \emptyset$，则Cesàro平均弱收敛于零。
• 若 $\sigma_{\text{pp}}(U) = \{1\}$ 且存在唯一不变向量 $\Omega$，则极限为 $\omega(\cdot)E_1$，其中 $\omega = \langle\cdot\Omega,\Omega\rangle$。
• 对于弱混合的 $C^*$-动力系统，且 $\mathfrak{A} = \mathcal{K}(\mathcal{H})$，若 $A \in \mathcal{K}(\mathcal{H})$ 满足 $\omega(A) > 0$，则多重相关性平均满足 $\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\omega(A\alpha^{nm_1}(A)\cdots\alpha^{nm_l}(A)) > 0$ 对所有 $N > N_0$ 成立。
• 多重相关性平均的极限为 $\omega(A)^{l+1} > 0$，该结果通过纠缠遍历定理与谱投影技术建立。
• 证明了条件期望 $E$ 将紧算子映射为紧算子，并通过迹类逼近与有限秩约化方法，证明其在弱算子拓扑下的收敛性。