[论文解读] New topological recursion relations

Xiaobo Liu, Rahul Pandharipande|arXiv (Cornell University)|May 30, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过在 $\mathbb{P}^1$ 上的稳定映射模空间上使用虚拟局部化，为 $\overline{M}_{g,1}$ 上的余切线类幂次 $\psi_1^k$（当 $k \geq 2g$ 时）建立了新的拓扑递归关系。关键结果是一个通用公式，将 $\psi_1^{2g+r}$ 表示为关于边界除子的和，该公式导致了边界推进映射核中非平凡的重言类关系，并证明了 Liu 和 Xu 的所有 Gromov-Witten 猜想。

ABSTRACT

Simple boundary expressions for the k-th power of the cotangent line class on the moduli space of stable 1-pointed genus g curves are found for k >= 2g. The method is by virtual localization on the moduli space of maps to the projective line. As a consequence, nontrivial tautological classes in the kernel of the push-forward map associated to the irreducible boundary divisor of the moduli space of stable g+1 curves are constructed. The geometry of genus g+1 curves then provides universal equations in genus g Gromov-Witten theory. As an application, we prove all the Gromov-Witten identities conjectured recently by K. Liu and H. Xu.

研究动机与目标

• 在 $k \geq 2g$ 时，为 $A^{2g+r}(\overline{M}_{g,1})$ 中的 $\psi_1^k$ 推导出显式的边界表达式，扩展已知的递归关系。
• 在边界推进映射 $\iota_*: A^*(\overline{M}_{g,2}) \to A^*(\overline{M}_{g+1})$ 的核中构造非平凡的重言类。
• 证明 Liu 和 Xu 的 Gromov-Witten 猜想，这些猜想是涉及高次 $\psi$ 类幂次的通用关系。

提出的方法

• 对模空间 $\overline{M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,1)$ 应用虚拟局部化，以计算对虚拟类的特殊交点数。
• 利用 $\overline{M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,1)$ 上某些重言类交点的消失性，推导出 $A^*(\overline{M}_{g,1})$ 中的关系。
• 将 $\psi_1^{2g+r}$ 表示为关于基因分裂边界除子 $\Delta_{1,\emptyset}(g_1,g_2)$ 的和，其系数包含在分量上涉及 $\psi_{\star_1}^a \psi_{\star_2}^b$ 类的项。
• 利用 Gromov-Witten 理论的分裂公理，将 $\overline{M}_{g,2}$ 中的重言类关系转化为 genus $g$ Gromov-Witten 不变量中的通用方程。
• 利用在向量场上的算子 $T$，将关系转化为涉及 $T^k(\gamma_\ell)$ 和 $T^{m-k}(\gamma^\ell)$ 的通用方程。
• 通过与已知公式 $\Psi_{n_1,n_2,g,m}$ 和 $\tau_k(\gamma_\ell)$ 的匹配，验证所推导的关系满足所需的通用方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \geq 2g$ 时，能否在已知 $k \geq g$ 的情况之外，为 $\psi_1^k$ 找到显式的边界表达式？
• RQ2 边界推进映射 $\iota_*: A^*(\overline{M}_{g,2}) \to A^*(\overline{M}_{g+1})$ 的核中是否存在非平凡的重言类？
• RQ3 能否通过重言类关系，普遍地证明 Liu 和 Xu 的 Gromov-Witten 猜想，这些猜想涉及高次 $\psi$ 类的幂次？

主要发现

• 建立了新的拓扑递归关系：在 $A^{2g+r}(\overline{M}_{g,1})$ 中，有 $\psi_1^{2g+r} = \sum_{g_1+g_2=g, g_i>0} \sum_{a+b=2g-1+r} (-1)^a \frac{g_2}{g} \cdot \iota_*\left(\psi_{\star_1}^a \psi_{\star_2}^b \cap [\Delta_{1,\emptyset}(g_1,g_2)]\right)$。
• 证明了在 $\iota_*$ 的核中存在非平凡的重言类，为此类通用方程在 genus $g$ Gromov-Witten 理论中的生成提供了一种新机制。
• 所有 Liu 和 Xu 的猜想 Gromov-Witten 恒等式均被普遍证明成立，确认了其在所有亏格和所有高次 $\psi$ 类幂次下的猜想。
• 该方法揭示了 genus $g$ Gromov-Witten 理论中的通用方程可从 $\overline{M}_{g,2}$ 中的重言类关系通过边界推进构造，为寻找此类方程开辟了新途径。
• 所推导的关系是非平凡且具有几何意义的，因为它们源于 $\overline{M}_{g,n}(\mathbb{P}^1,1)$ 的虚拟几何，而不仅仅是重言类退化。
• 通过虚拟局部化和算子 $T$ 的翻译技术，该证明方法为从曲线模空间上的重言类关系系统地推导 Gromov-Witten 理论中的通用关系提供了框架。