[论文解读] New Two Step Laplace Adam-Bashforth Method for Integer an Non integer Order Partial Differential Equations

Rodrigue Gnitchogna Batogna, Abdon Atangana|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文提出了一种新颖的两步Laplace-Adam-Bashforth方法，用于求解整数阶和分数阶偏微分方程（PDEs）。通过在Laplace空间中结合Laplace变换与Adam-Bashforth格式，该方法消除了分数阶PDE求解器中典型的复杂求和项，从而实现高效、稳定且收敛的数值解。该方法在经典PDE和分数阶PDE中均表现出高精度和计算简便性。

ABSTRACT

This paper presents a novel method that allows to generalise the use of the Adam-Bashforth to Partial Differential Equations with local and non local operator. The Method derives a two step Adam-Bashforth numerical scheme in Laplace space and the solution is taken back into the real space via inverse Laplace transform. The method yields a powerful numerical algorithm for fractional order derivative where the usually very difficult to manage summation in the numerical scheme disappears. Error Analysis of the method is also presented. Applications of the method and numerical simulations are presented on a wave-equation like, and on a fractional order diffusion equation.

研究动机与目标

• 将原本用于常微分方程（ODEs）的Adam-Bashforth方法推广至具有局部与非局部算子的偏微分方程。
• 解决传统数值格式在处理分数阶PDE求解器中卷积型项时的计算困难问题。
• 为整数阶和分数阶PDE开发一种稳定、收敛且计算高效的数值算法。
• 通过将问题转换到Laplace空间来简化分数阶导数的数值处理，避免繁琐的求和运算。

提出的方法

• 该方法应用Laplace变换，将PDE转换为Laplace空间中的常微分方程，从而将PDE简化为时间方向的一阶常微分方程。
• 在Laplace空间中利用Lagrange插值法近似右侧函数，构建两步Adam-Bashforth格式。
• 通过反Laplace变换将Laplace空间中的结果还原至实空间，获得最终解。
• 对于分数阶PDE，采用Caputo导数，方法应用分数阶积分算子以推导时间推进格式。
• 通过利用Laplace变换避免了分数阶格式中的标准卷积求和，简化了实现过程。
• 通过傅里叶-Laplace空间中的von Neumann稳定性分析，得出时间步长与空间网格尺寸之间的稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Adam-Bashforth方法推广至具有整数阶与非整数阶导数的偏微分方程？
• RQ2 将Laplace变换与Adam-Bashforth格式结合，是否能消除分数阶PDE求解器中对复杂求和项的需求？
• RQ3 所得到的数值格式对经典PDE和分数阶PDE是否均具有稳定性和收敛性？
• RQ4 与Crank-Nicolson或有限差分法等经典格式相比，该方法在分数阶PDE中的精度和效率如何？

主要发现

• 该方法通过Laplace变换成功地将Adam-Bashforth格式推广至具有整数阶和分数阶导数的PDE。
• 数值格式避免了分数阶PDE求解器中通常存在的计算开销较大的卷积求和，显著简化了实现过程。
• 稳定性分析表明，在条件 $ \frac{h^\alpha}{l^2} < \frac{\Gamma(\alpha)}{2d\delta_n^\alpha} $ 下，该格式无条件稳定，确保对所有 $ n $ 有 $ |u_n| < |u_0| $。
• 数值模拟结果表明，该方法具有快速收敛性和高精度，验证了其在波动方程和分数阶扩散方程上的有效性。
• 通过应用反Laplace变换将解恢复至实空间，保持了格式的效率与稳定性。
• 图形结果表明，对于指数型和余弦型初始/边界条件，精确解与近似解之间具有极佳的一致性。