[论文解读] New Type of Hamiltonians Without Ultraviolet Divergence for Quantum Field Theories

Stefan Teufel, Roderich Tumulka|arXiv (Cornell University)|May 19, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文提出了一类新的量子场论哈密顿量，其数学定义严谨且无紫外发散，无需引入紫外截断或将粒子在非零半径上展宽。相反，粒子被赋予零半径，哈密顿量通过一种新颖的“内部边界条件”定义，该条件将波函数在粒子重合点的取值与更低粒子数区间的取值联系起来，从而实现量子场论的严格且有限的表述。

ABSTRACT

We propose a novel type of Hamiltonians for quantum eld theories. They are mathematically well-dened (and in particular, ultraviolet nite) without any ultraviolet cut-o such as smearing out the particles over a nonzero radius; rather, the particles are assigned radius zero. We describe explicit examples of such Hamiltonians. Their denition, which is best expressed in the particle{position representation of the wave function, involves a novel type of boundary condition on the wave function, which we call an interior{boundary condition. The relevant conguration space is one of a variable number of particles, and the relevant boundary consists of the congurations with two or more particles at the same location. The interior{boundary condition relates the value (or derivative) of the wave function at a boundary point to the value of the wave function at an interior point (here, in a sector of conguration space corresponding to a lesser number of

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖紫外截断或正则化技术的数学上严谨的量子场论表述。
• 通过一类新的哈密顿量解决量子场论中长期存在的紫外发散问题。
• 在配置空间上引入一种新颖的边界条件，为具有变粒子数的量子场定义一致的动力学。
• 提供一种框架，使粒子被视为点状（零半径），同时通过一种新型波函数约束避免发散。
• 通过内部边界条件在波函数于不同粒子数区间的取值之间建立严格联系，从而实现单位性和有限性。

提出的方法

• 在波函数的粒子位置表象中定义哈密顿量，其中配置空间包含可变的粒子数。
• 引入一种内部边界条件，将波函数在边界点（两个或多个粒子处于同一位置）的取值或导数与粒子数较少的区域中的取值联系起来。
• 通过在不同粒子数区间的波函数取值中指定边界条件，构造此类哈密顿量的显式例子。
• 通过要求波函数在所有粒子重合点均满足内部边界条件，确保其数学上的良好定义性。
• 利用配置空间的结构——边界对应于粒子重合——在不引入外部调节器的情况下定义动力学。
• 通过构造证明，所得哈密顿量为紫外有限，因为无需展宽或截断。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过一种将粒子视为点状（零半径）的哈密顿量，在不使用紫外截断的情况下构造出无紫外发散的量子场论？
• RQ2 在具有变粒子数的多体量子场论中，为确保有限性和一致性，波函数需要何种类型的边界条件？
• RQ3 当粒子可在空间中重合时，如何以数学上严谨的方式定义量子场论的动力学？
• RQ4 通过在粒子重合点引入波函数的新约束，是否可以消除对紫外截断或展宽的需求？
• RQ5 内部边界条件在关联不同粒子数区间的波函数取值方面起什么作用，以维持单位性和有限性？

主要发现

• 所提出的哈密顿量在数学上良好定义且无紫外发散，无需任何紫外截断或正则化过程。
• 该理论将粒子视为点状（零半径），避免了展宽或有限尺寸近似的需要。
• 内部边界条件提供了一种机制，将波函数在粒子重合点的取值与更低粒子数区间的取值联系起来，确保了理论的一致性。
• 构造了此类哈密顿量的显式例子，证明了其在具体情形下的可行性与有限性。
• 该框架允许在粒子位置表象中，对具有可变粒子数的量子场论进行严格表述。
• 通过将有限性条件直接嵌入波函数的边界条件中，该方法避免了发散。