[论文解读] New weighted $L^2$-type tests for the inverse Gaussian distribution

James Allison, Steffen Betsch+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出了一类基于 Stein 型刻画的加权 $L^2$-型拟合优度检验，用于逆高斯分布，该刻画将分布与一个函数方程联系起来。所提出的检验方法利用方程两边的经验估计量，计算其加权 $L^2$-距离，并采用参数自展法获取临界值，实现了渐近有效性与一致性。在多种备择分布下，该方法表现出卓越的检验功效，优于经典方法与近期提出的检验方法，模拟研究结果证实了这一点。

ABSTRACT

We propose a new class of goodness-of-fit tests for the inverse Gaussian distribution. The proposed tests are weighted $L^2$-type tests depending on a tuning parameter. We develop the asymptotic theory under the null hypothesis and under a broad class of alternative distributions. These results are used to show that the parametric bootstrap procedure, which we employ to implement the test, is asymptotically valid and that the whole test procedure is consistent. A comparative simulation study for finite sample sizes shows that the new procedure is competitive to classical and recent tests, outperforming these other methods almost uniformly over a large set of alternative distributions. The use of the newly proposed test is illustrated with two observed data sets.

研究动机与目标

• 开发一类针对逆高斯分布的新型拟合优度检验，其功效优于现有方法。
• 利用近期建立的逆高斯分布的 Stein 型刻画，基于函数方程构造一种新型检验统计量。
• 通过证明参数自展程序在原假设下能保持名义显著性水平，确保检验的渐近有效性。
• 通过广泛的模拟研究，建立检验在连续备择假设下的相合性及有限样本下的性能表现。
• 通过可靠性工程与气象学中的真实数据实例，展示该检验的实际应用价值。

提出的方法

• 该检验基于从逆高斯分布的 Stein 型刻画导出的函数方程，具体为论文中的公式 (3)，该公式将累积分布函数与涉及随机变量及其倒数的期望联系起来。
• 检验统计量定义为：在刻画方程左侧的经验版本与右侧的经验分布函数之间，计算其加权 $L^2$-距离。
• 权重函数中的调优参数 $a$ 允许灵活检测各类备择分布，且其选择对检验功效的影响有限。
• 采用参数自展法计算临界值，确保在原假设下检验的渐近有效性。
• 在原假设及一大类连续备择假设下建立了渐近理论，支持检验的相合性。
• 在检验过程中，使用最大似然估计与矩估计来估计逆高斯分布的参数 $\mu$ 与 $\lambda$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于 Stein 型刻画构造一类新的 $L^2$-型拟合优度检验，用于逆高斯分布？
• RQ2 当采用参数自展法时，所提出的检验在有限样本下是否能保持名义显著性水平？
• RQ3 在广泛范围的备择分布下，新检验的检验功效与经典及近期的拟合优度检验相比如何？
• RQ4 检验在连续备择假设下是否具有相合性？自展程序是否能保持渐近有效性？
• RQ5 在真实数据应用中，该检验是否能比现有方法更有效地检测出对逆高斯分布的偏离？

主要发现

• 在涵盖广泛备择分布的全面比较中，所提出的检验在功效方面优于所有对比的经典与近期拟合优度检验，仅在一种情况下（Cramér-von Mises Anderson-Darling 检验）略高。
• 参数自展程序具有渐近有效性，在原假设下能保持名义显著性水平，模拟结果也证实了即使在中等样本量（$n = 30$）下，显著性水平的控制也表现良好。
• 在连续备择假设下，检验具有相合性，证实了随着样本量增加，其能够检测出对逆高斯分布的局部偏离。
• 在第一个真实数据示例（可靠性数据）中，新检验未能拒绝原假设，与先前研究结果一致，支持了逆高斯分布的假设。
• 在第二个真实数据示例（降水数据）中，新检验的 $p$-值显著低于现有检验方法的 $p$-值，因此在 10% 显著性水平下拒绝了原假设，提示数据可能不服从逆高斯分布。
• 检验性能对调优参数 $a$ 的选择相对不敏感，表明其在不同权重函数下均具有稳健性。