[论文解读] Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties and string polytopes for generalized Demazure modules

Naoki Fujita|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用 10

一句话总结

本文建立了Bott-Samelson簇的Newton-Okounkov体与Demazure模的广义string多面体之间的直接对应关系，证明在特定赋值下，两种构造产生相同的凸体。该研究将string多面体理论从标准Demazure模扩展到广义Demazure模，通过证明相关半群的有限生成性，表明所得多面体为有理凸多面体。

ABSTRACT

A Newton-Okounkov convex body is a convex body constructed from a projective variety with a valuation on its homogeneous coordinate ring; this generalizes a Newton polytope for a toric variety. This convex body has various kinds of information about the original projective variety; for instance, Kaveh showed that the string polytopes from representation theory are examples of Newton-Okounkov bodies for Schubert varieties. In this paper, we extend the notion of string polytopes for Demazure modules to generalized Demazure modules, and prove that the resulting generalized string polytopes are identical to the Newton-Okounkov bodies for Bott-Samelson varieties with respect to a specific valuation. As an application of this result, we show that these are indeed polytopes.

研究动机与目标

• 将string多面体理论从标准Demazure模扩展到广义Demazure模。
• 证明在特定赋值下，Bott-Samelson簇的Newton-Okounkov体与广义string多面体完全一致。
• 通过证明相关半群的有限生成性，确立这些广义string多面体为有理凸多面体。
• 为各种李型提供显式分段线性不等式，以定义广义string多面体∆i,m。

提出的方法

• 通过在与Bott-Samelson簇相关联的有理函数域上使用字典序的最高项赋值，构造Newton-Okounkov体。
• 将广义Demazure模定义为不可约最高权模张量积中B-子模。
• 引入Bott-Samelson簇上线丛整体截面的新基，该基由广义Demazure晶体参数化。
• 对广义Demazure晶体应用string参数化，定义一种新多面体，称为广义string多面体。
• 推导出刻画给定字i和权m的广义string多面体∆i,m的分段线性不等式。
• 利用半群S(X, L, v, τ)的有限生成性，得出Newton-Okounkov体为有理凸多面体的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特定赋值下，广义Demazure模的广义string多面体是否与Bott-Samelson簇的Newton-Okounkov体等价？
• RQ2 string多面体构造能否从标准Demazure模扩展到广义Demazure模？
• RQ3 与给定约化或非约化字i及权m相关的广义string多面体∆i,m的定义不等式是什么？
• RQ4 对于所选赋值下的Bott-Samelson簇，半群S(X, L, v, τ)是否有限生成，从而保证Newton-Okounkov体为有理凸多面体？
• RQ5 对于同一Weyl群元素的不同约化字选择，多面体的行为如何变化？

主要发现

• 对于约化字i，广义string多面体∆i,m与对应Bott-Samelson簇的Newton-Okounkov体∆(Zi, Li,m, vi, τi,m)完全相同。
• 在A2型中，当m = (1,1,1)时，广义string多面体∆i,m由不等式a3 ≤ 1，a2 ≤ a3 + 1，a1 ≤ a2 − 2a3 + 2定义。
• 在C2型中，当m = (1,1,1,1)时，多面体∆i,m由0 ≤ a4 ≤ 1，0 ≤ a3 ≤ 2a4 + 1，以及涉及a2和a1的其他约束定义。
• 在G2型中，当m = (1,1,1,1,1,1)时，多面体∆i,m有6个变量，其边界由复杂分段线性不等式定义，包括a1 ≤ 3a2 − 2a3 + 3a4 − 2a5 + 3a6 + 3。
• 在非约化情形下，例如A1型中i = (1,1,1)，多面体∆i,m不是格点多面体，因其在(0,1,0.5)处有一个顶点。
• 当权ms相对于ms+1足够大时，多面体∆i,m恰好有2r个顶点和2r个r−1维的面。