[论文解读] Newton Polytopes in Algebraic Combinatorics

Cara Monical, Neriman Tokcan+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文引入了 Schubitope，一种由 n×n 网格中图表导出的线性不等式定义的新一类多面体，猜想其可描述 Schubert 多项式与关键多项式的 Newton 多面体。研究证明了这些多项式——包括对称多项式、Macdonald 多项式等——具有饱和 Newton 多面体（SNP），即其凸包中的所有格点均对应于一个单项式，并证明 Schubitope 在主权重要素下推广了单纯形多面体。

ABSTRACT

A polynomial has saturated Newton polytope (SNP) if every lattice point of the convex hull of its exponent vectors corresponds to a monomial. We compile instances of SNP in algebraic combinatorics (some with proofs, others conjecturally): skew Schur polynomials; symmetric polynomials associated to reduced words, Redfield--Polya theory, Witt vectors, and totally nonnegative matrices; resultants; discriminants (up to quartics); Macdonald polynomials; key polynomials; Demazure atoms; Schubert polynomials; and Grothendieck polynomials, among others. Our principal construction is the Schubitope. For any subset of [n] x [n], we describe it by linear inequalities. This generalized permutahedron conjecturally has positive Ehrhart polynomial. We conjecture it describes the Newton polytope of Schubert and key polynomials. We also define dominance order on permutations and study its poset-theoretic properties.

研究动机与目标

• 识别并整理代数组合学中具有饱和 Newton 多面体（SNP）的多项式族，其中指数向量凸包中的每个格点均对应一个单项式。
• 引入 Schubitope 作为通过 n×n 网格中图表定义的广义单纯形多面体，其线性不等式基于图表构造，猜想其可建模 Schubert 与关键多项式的 Newton 多面体。
• 通过 Schubitope 约束导出的不等式，将分拆上的优势序推广至排列，实现对排列的优势序定义。
• 研究 Schubitope 的 Ehrhart 正性，猜想其 Ehrhart 多项式具有正系数。

提出的方法

• 将 Schubitope S_D 定义为满足子集 S⊆[n] 上和约束的非负实向量集合，其中上界为 θ_D(S)，通过图表 D 中各行的词编码计算得出。
• 对每个列 c，构造词 word_{c,S}(D)，方法为自上而下读取各行，根据是否属于 D 及是否属于 S，将条目标记为 (、) 或 ⋆。
• 利用每列词中括号配对数与 ⋆ 符号数定义 θ_D^c(S)，再对所有列求和得到 θ_D(S)。
• 证明当 w(i) < w(i+1) 时，Schubitope 在相邻对换下保持不变，表明其在坐标置换下具有对称性。
• 证明对于 Grassmannian 排列 w_λ,n，Schubitope S_{D_{w_λ,n}} 等于 Schur 多项式 s_λ(x) 的 Newton 多面体，通过 Kohnert 在半标准表与 Kohnert 图表之间的保权双射实现。
• 猜想 Schubitope 可描述一般 Schubert 与关键多项式的 Newton 多面体，作为单纯形多面体的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 Schubert 与关键多项式是否具有饱和 Newton 多面体？若成立，其 Newton 多面体能否通过一类新的多面体组合描述？
• RQ2 基于包含成对括号与星号的图表不等式定义的 Schubitope，是否可作为 Schubert 与关键多项式 Newton 多面体的有效模型？
• RQ3 Schubitope 是否推广了单纯形多面体？若成立，在何种条件下其与 Schur 多项式 Newton 多面体重合？
• RQ4 能否通过 Schubitope 的不等式定义排列的优势序，从而将经典分拆上的优势序推广至排列？
• RQ5 Schubitope 是否具有正的 Ehrhart 多项式？该猜想由作者提出，并得到与已知正性结果类比的支持。

主要发现

• Schubitope S_D 由涉及 θ_D(S) 的线性不等式定义，θ_D(S) 为列方向词中成对括号与星号的计数，且对所有 α ∈ S_D 满足 ∑α_i = #D。
• Schubitope 推广了单纯形多面体：对分拆 λ，有 S_{D_{w_λ,n}} = Newton 多面体(s_λ(x))，通过 Kohnert 双射得证。
• 当 w(i) < w(i+1) 时，Schubitope 在相邻对换下保持不变，表明其在坐标置换下具有对称性，支持其作为 Newton 多面体模型的角色。
• 作者证明了 Schur 多项式具有饱和 Newton 多面体，通过单纯形多面体描述确认了 Rado 定理。
• 本文提供了证据表明关键多项式与 Schubert 多项式在猜想下具有 SNP 性质，且 Schubitope 被提议作为其 Newton 多面体模型。
• 作者猜想所有 Schubitope 均具有正的 Ehrhart 多项式，扩展了关于广义单纯形多面体的已知猜想。