[论文解读] Newton's Equation on Diffeomorphisms and Densities

Boris Khesin, Gerard Misiołek+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Advanced Differential Geometry Research被引用 2

一句话总结

本文在流形 M 上的微分同胚与概率密度的无限维空间上，为牛顿型方程构建了一个几何框架，推广了 Otto 对梯度流的微分几何方法。它确立了 Maldelung 变换作为相空间之间的辛同胚与凯勒映射，连接了经典 Fisher-Rao 度量与量子 Bures 度量，并通过此几何结构统一了可压缩欧拉方程、哈密顿-雅可比方程以及非线性薛定谔方程等方程。

ABSTRACT

We develop a geometric framework for Newton-type equations on the infinite-dimensional configuration space of probability densities. It can be viewed as a second order analogue of the "Otto calculus" framework for gradient flow equations. Namely, for an n-dimensional manifold M we derive Newton's equations on the group of diffeomorphisms Diff(M) and the space of smooth probability densities Dens(M), as well as describe the Hamiltonian reduction relating them. For example, the compressible Euler equations are obtained by a Poisson reduction of Newton's equation on Diff(M) with the symmetry group of volume-preserving diffeomorphisms, while the Hamilton-Jacobi equation of fluid mechanics corresponds to potential solutions. We also prove that the Madelung transform between Schrodinger-type and Newton's equations is a symplectomorphism between the corresponding phase spaces T* Dens(M) and PL2 (M, C). This improves on the previous symplectic submersion result of von Renesse [1]. Furthermore, we prove that the Madelung transform is a Kahler map provided that the space of densities is equipped with the (prolonged) Fisher-Rao information metric and describe its dynamical applications. This geometric setting for the Madelung transform sheds light on the relation between the classical Fisher-Rao metric and its quantum counterpart, the Bures metric. In addition to compressible Euler, Hamilton-Jacobi, and linear and nonlinear Schrodinger equations, the framework for Newton equations encapsulates Burgers' inviscid equation, shallow water equations, two-component and mu-Hunter-Saxton equations, the Klein-Gordon equation, and infinite-dimensional Neumann problems.

研究动机与目标

• 将 Otto 对梯度流的微分几何方法推广至微分同胚与概率密度的无限维空间上的二阶牛顿型动力学。
• 建立一个哈密顿约化框架，通过对称群将 Diff(M) 上的牛顿方程与 Dens(M) 上的牛顿方程联系起来。
• 证明 Maldelung 变换是 T* Dens(M) 与 PL2(M, C) 之间的一个辛同胚，改进了先前的子mersion 结果。
• 证明当 Dens(M) 配备延长 Fisher-Rao 度量时，Maldelung 变换是一个凯勒映射。
• 在单一几何框架下统一可压缩欧拉方程、Burgers 方程、浅水方程以及非线性薛定谔方程等不同方程。

提出的方法

• 利用哈密顿力学与李-泊松结构，推导微分同胚群 Diff(M) 上的牛顿方程。
• 对体积保持微分同胚子群应用泊松约化，得到 Dens(M) 上的方程。
• 将 Maldelung 变换构造为从余切丛 T* Dens(M) 到平方可积复值函数空间 PL2(M, C) 的映射。
• 通过验证其保持标准辛形式，证明 Maldelung 变换是辛同胚。
• 为 Dens(M) 配备延长 Fisher-Rao 信息度量，并证明 Maldelung 变换保持凯勒结构。
• 将该框架应用于推导并统一可压缩流体、浅水方程、mu-Hunter-Saxton 方程、Klein-Gordon 方程以及无限维 Neumann 问题的动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿型动力学如何在概率密度的无限维空间上进行几何表述？
• RQ2 对称性约化在将 Diff(M) 上的牛顿方程与 Dens(M) 上的牛顿方程联系起来的过程中起什么作用？
• RQ3 Maldelung 变换是否为经典密度动力学与类量子系统相空间之间的辛同胚？
• RQ4 在何种几何条件下，Maldelung 变换是凯勒映射？
• RQ5 该框架如何统一可压缩欧拉方程、Burgers 方程以及非线性薛定谔方程等不同方程？

主要发现

• Maldelung 变换是 T* Dens(M) 与 PL2(M, C) 之间的辛同胚，确认了其结构强于先前已知的辛子mersion。
• 当 Dens(M) 配备延长 Fisher-Rao 度量时，Maldelung 变换是凯勒映射，连接了经典与量子信息几何。
• 该框架将可压缩欧拉方程视为在体积保持对称性下，Diff(M) 上牛顿方程的泊松约化结果。
• 流体动力学中的哈密顿-雅可比方程作为该牛顿框架内的一个解势函数出现。
• 该几何方法可扩展至包含无粘 Burgers 方程、浅水方程、两分量与 mu-Hunter-Saxton 系统，以及无限维 Neumann 问题。
• Dens(M) 上的延长 Fisher-Rao 度量提供了一个自然的黎曼结构，使 Maldelung 变换成为凯勒映射，从而阐明了经典与量子度量之间的关系。