[论文解读] Newtonian Few-Body Problem Central Configurations with Gravitational Charges of both Signs

E. Piña, P. Lonngi|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文研究了牛顿四体问题中具有正负两种符号的引力电荷情形，其中质量为正，但电荷可正可负，导致存在吸引与排斥力。推导了修正的Dziobek方程，证明一个负电荷会导致凹形构型，负质量位于其余三个质量的凸包内部；两对相反电荷则产生凸形构型，同号电荷位于对角线上，与全正电荷情形相比减少了不同构型的数量。

ABSTRACT

The Newtonian n-Body Problem is modified assuming positive inertial masses but different sign for the interacting force which is assumed with the possibility of two different signs for the gravitational masses, according to the prescription two masses with same sign attract one to the other, two masses of different sign repel one to the other. As in electrostatics the signed mass is called charge. The inertial mass is always positive. The two body problem behaves as the similar Coulomb problem of charged particles with two equal charges. The solution is a central configuration with almost same behavior that the Newton two-body problem for hyperbolic orbits. The 3-Body problem was found with collinear solutions. The four body case of charged central configurations has only the planar [1] and collinear solutions.

研究动机与目标

• 分析当引力电荷可正可负而惯性质量保持为正时，牛顿四体问题中的中心构型。
• 澄清运动方程的物理一致性，区分惯性质量与引力电荷，并纠正先前数学处理中发现的不一致之处。
• 推导并应用在混合电荷条件下中心构型的修正Dziobek方程。
• 证明中心构型的几何约束：一个负电荷导致凹形构型，负质量位于其余三个质量的凸包内部；两对相反电荷产生凸形构型，同号电荷位于对角线上。
• 将现有计算平面四体中心构型的算法适配于处理正负符号混合的引力电荷。

提出的方法

• 使用正的惯性质量与带符号的引力电荷表述运动方程，确保与牛顿第二、第三定律一致。
• 通过将每个质点所受引力与同一标量B缩放的位置矢量相等，推导中心构型的修正Dziobek方程。
• 利用质心条件与守恒定律（总动量、角动量、能量）简化系统，并将原点固定在质心。
• 应用几何与代数技术，根据电荷的数量与符号对可能的构型进行分类。
• 将先前发表的用于计算平面中心构型中六组质点间距离的算法，适配于处理带符号混合电荷的情形。
• 通过数值计算寻找各种电荷符号分布的具体解，使用λ、θ与φ等参数描述构型。

实验结果

研究问题

• RQ1 当引力电荷可正可负而质量保持为正时，四体问题中的中心构型具有何种几何约束？
• RQ2 一个负电荷的存在如何影响中心构型的形状与凸性？
• RQ3 当存在两个正电荷与两个负电荷时，构型结构如何变化？同号电荷如何相对排列？
• RQ4 与数学文献中将质量与电荷混淆的处理方式相比，修正后的Dziobek方程有何不同？
• RQ5 能否将现有用于计算四体中心构型的算法适配于包含正负符号引力电荷的情形？其会产生哪些新解？

主要发现

• 一个负电荷的中心构型（例如 e₁ = -m₁）呈现凹形，负质量粒子位于其余三个质量的凸包内部。
• 当两个电荷为同号、另两个为异号时，中心构型为凸形，同号电荷位于对角线上。
• 从正电荷情形适配而来的算法成功计算出具有混合符号的物理中心构型，每种电荷符号分布仅产生唯一一个构型。
• 对所有可能的符号组合均找到了数值解：一个负电荷（四种情况）与两对相反电荷（三种情况），每种均有不同的λ、θ、φ值及六组质点间距离。
• λ（一个缩放参数）在不同构型中变化显著：当e₁为负时λ ≈ 47.29，而对角线上为r₄₁与r₂₃的凸构型中λ ≈ 3.02。
• 结果表明，允许混合电荷会减少不同中心构型的数量，与全正电荷情形（发现七种构型）相比，此处每种符号分布仅发现一种构型。