[论文解读] Next-to-leading order in the large $N$ expansion of the multi-orientable random tensor model

Matti Raasakka, Adrian Tanasă|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文分析了多方向可重整（MO）随机张量模型在大 $N$ 展开中的下一阶（NLO）项，识别出NLO图为其包含非可定向夹克（jacket）的图。推导出收敛半径 $ olambda_c$ 和易感性指数 $ olambda_{ olambda} = \frac{3}{2}$，为定义MO模型的双标度极限奠定了关键一步，该模型与彩色张量模型不同，因其允许更广泛的拓扑结构。

ABSTRACT

In this paper we analyze in detail the next-to-leading order (NLO) of the recently obtained large $N$ expansion for the multi-orientable (MO) tensor model. From a combinatorial point of view, we find the class of Feynman tensor graphs contributing to this order in the expansion. Each such NLO graph is characterized by the property that it contains a certain non-orientable ribbon subgraph (a non-orientable jacket). Furthermore, we find the radius of convergence and the susceptibility exponent of the NLO series for this model. These results represent a first step towards the larger goal of defining an appropriate double-scaling limit for the MO tensor model.

研究动机与目标

• 为了表征大 $N$ 展开中多方向可重整（MO）随机张量模型下一阶（NLO）图的结构。
• 为了确定NLO级数的临界行为，包括收敛半径和易感性指数。
• 通过分析NLO区域，建立MO模型是否能定义出类似于彩色张量模型的双标度极限。
• 对比MO模型与彩色张量模型在NLO结构上的差异，尤其关注夹克的可定向性。
• 为未来通过双标度极限对MO模型进行非微扰研究奠定基础。

提出的方法

• 对MO张量模型大 $N$ 展开中贡献于NLO的费曼张量图进行组合分类。
• 将NLO图识别为包含非可定向带状子图（特别是非可定向夹克）的图。
• 利用施温格-戴逊方程将连通两点函数 $G_{\text{NLO}}$ 与自由能 $E_{\text{NLO}}$ 关联。
• 通过关系式 $G_{\text{NLO}} \sim (1 - \lambda^2/\lambda_c^2)^{-1/2}$ 推导临界行为，得出易感性指数 $ olambda_{ olambda} = \frac{3}{2}$。
• 将大 $N$ 展开形式化应用于MO张量模型，其中配分函数定义为具有高斯动能项和四次相互作用项 $S_p$ 的形式。
• 使用环-顶点展开和重求和技术作为非微扰行为的参考，与微扰结果进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大 $N$ 展开中，多方向可重整张量模型的下一阶图具有怎样的组合结构？
• RQ2 NLO图中非可定向夹克的存在如何影响模型的临界行为？
• RQ3 MO张量模型中NLO级数的收敛半径和易感性指数是什么？
• RQ4 MO模型的NLO临界行为与彩色张量模型相比有何异同？
• RQ5 能否基于其NLO区域一致地定义MO模型的双标度极限？

主要发现

• MO张量模型中的NLO图特征是包含一个非可定向夹克，这使其与仅包含可定向夹克的彩色张量模型的NLO图相区别。
• NLO级数的收敛半径被确定为 $ olambda_c$，与领先阶（LO）级数的临界耦合常数相同。
• NLO级数的易感性指数为 $ olambda_{ olambda} = \frac{3}{2}$，表明其临界行为与LO阶有明显不同。
• NLO两点函数的临界行为为 $G_{\text{NLO}} \sim (1 - \lambda^2/\lambda_c^2)^{-1/2}$，与推导出的指数一致。
• NLO自由能的标度行为为 $E_{\text{NLO}} \sim (1 - \lambda^2/\lambda_c^2)^{1/2}$，证实了临界指数 $ olambda_{ olambda} = \frac{3}{2}$。
• 这些结果表明，MO张量模型有可能定义出类似于彩色张量模型的双标度极限，尽管半整数度数区域的作用仍是未解之谜。