[论文解读] Nica-Toeplitz algebras associated with right tensor C*-precategories over right LCM semigroups: part II examples

B. K. Kwaśniewski, Nadia S. Larsen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2017

Advanced Operator Algebra Research被引用 2

一句话总结

本文通过将抽象唯一性结果应用于C*-对应关系的乘积系统，建立了关于右LCM半群的Nica-Toeplitz代数的唯一性定理。该研究统一了右半直积与左半直积的半群C*-代数，通过完全正映射引入了Nica-Toeplitz交叉乘积，并构建了一个新的Doplicher-Roberts型C*-代数，将Fowler与Fowler-Raeburn的框架扩展至右LCM半群。

ABSTRACT

We prove uniqueness of representations of Nica-Toeplitz algebras associated to product systems of $C^*$-correspondences over right LCM semigroups by applying our previous abstract uniqueness results developed for $C^*$-precategories. Our results provide an interpretation of conditions identified in work of Fowler and Fowler-Raeburn, and apply also to their crossed product twisted by a product system, in the new context of right LCM semigroups, as well as to a new, Doplicher-Roberts type $C^*$-algebra associated to the Nica-Toeplitz algebra. As a derived construction we develop Nica-Toeplitz crossed products by actions with completely positive maps. This provides a unified framework for Nica-Toeplitz semigroup crossed products by endomorphisms and by transfer operators. We illustrate these two classes of examples with semigroup $C^*$-algebras of right and left semidirect products.

研究动机与目标

• 将Nica-Toeplitz代数的唯一性结果扩展至右LCM半群上的乘积系统。
• 在右LCM半群的背景下，解释并推广Fowler与Fowler-Raeburn所识别的条件。
• 通过完全正映射，发展Nica-Toeplitz交叉乘积的统一框架。
• 从Nica-Toeplitz代数出发，构建一个新的Doplicher-Roberts型C*-代数。
• 通过右半直积与左半直积的半群C*-代数，说明该框架的应用。

提出的方法

• 将C*-预范畴的抽象唯一性定理应用于右LCM半群上乘积系统的Nica-Toeplitz代数。
• 利用右LCM半群的结构，定义并分析Nica-Toeplitz代数的表示。
• 通过具有完全正映射的行动引入Nica-Toeplitz交叉乘积，以统一自同态与转移算子交叉乘积。
• 从Nica-Toeplitz代数出发，构建一个类似于Doplicher-Roberts构造的新C*-代数。
• 通过乘积系统与半群作用的视角分析所得C*-代数。
• 将该框架应用于半直积，区分右变体与左变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Nica-Toeplitz代数的唯一性定理扩展至右LCM半群上的乘积系统？
• RQ2 完全正映射在构造统一的Nica-Toeplitz交叉乘积中起到什么作用？
• RQ3 Fowler与Fowler-Raeburn所识别的条件在右LCM半群的背景下如何推广？
• RQ4 能否从右LCM半群上乘积系统的Nica-Toeplitz代数出发，构造一个Doplicher-Roberts型C*-代数？
• RQ5 右半直积与左半直积的半群C*-代数如何从该框架中自然产生？

主要发现

• 通过抽象C*-预范畴技术，建立了右LCM半群上Nica-Toeplitz代数的唯一性定理。
• 该框架在右LCM半群背景下，推广并解释了Fowler与Fowler-Raeburn的条件。
• 通过完全正映射构造了Nica-Toeplitz交叉乘积，统一了自同态与转移算子交叉乘积。
• 一个新的Doplicher-Roberts型C*-代数被实现为Nica-Toeplitz代数的商代数。
• 右半直积与左半直积的半群C*-代数被证明自然地源自所构建的框架。
• 该构造为研究非格序右LCM半群上的乘积系统提供了连贯的代数框架。