[论文解读] Nikishin systems are perfect

U. Fidalgo Prieto, G. López Lagomasino|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文证明了Nikishin系统是完备的，确立了逼近理论中的一个基础性质。通过利用势论和渐近分析，作者推导出了一系列关键结果，包括多重正交多项式的对数渐近性、同时求积公式的收敛性，以及在Nikishin框架下对Markov定理和Denisov-Rakhmanov定理的推广。

ABSTRACT

K. Mahler introduced the concept of perfect systems in the general theory he developed for the simultaneous Hermite-Pade approximation of analytic functions. We prove that Nikishin systems are perfect providing, by far, the largest class of systems of functions for which this important property holds. As consequences, in the context of Nikishin systems, we obtain: an extension of Markov's theorem to simultaneous Hermite-Pade approximation, a general result on the convergence of simultaneous quadrature rules of Gauss-Jacobi type, the logarithmic asymptotics of general sequences of multiple orthogonal polynomials, and an extension of the Denisov-Rakhmanov theorem for the ratio asymptotics of mixed type multiple orthogonal polynomials.

研究动机与目标

• 建立Nikishin系统是完备的，这是同时Hermite-Padé逼近中的一个核心性质。
• 将经典结果如Markov定理和Denisov-Rakhmanov定理推广到多重正交多项式的背景中。
• 利用Nikishin系统的完备性，推导一般序列的多重正交多项式的对数渐近性。
• 证明在Nikishin系统中，同时Gauss-Jacobi型求积规则的收敛速率和结构性质。

提出的方法

• 完备性的证明依赖于势论技术以及复平面上测度的Cauchy变换的分析。
• 作者利用Nikishin系统的结构，通过线性型和正交多项式将第一类和第二类逼近子联系起来。
• 通过分析不同多指标间线性型比值的极限，应用多重正交多项式的比值渐近性。
• 该方法涉及对多指标的重排以及构造一个指标格，以统一分析渐近行为。
• 关键方程涉及线性型比值的极限 $ \frac{{\mathcal{A}}_{\widetilde{\bf n}}(z)}{{\mathcal{A}}_{\bf n}(z)} $，其收敛于函数乘积 $ C(\widetilde{l})\widetilde{\psi}^{(\widetilde{l})}_{0}(z) $。
• 分析在具有递减分量的多指标集合 $ \Lambda(\lambda_1,\lambda_2) $ 上进行，确保在复平面上紧子集上的一致收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nikishin系统是否完备，即所有多指标对第一类和第二类逼近是否都是正规的？
• RQ2 能否从Nikishin系统的完备性推导出多重正交多项式的对数渐近性？
• RQ3 Markov定理在有理逼近中的结果能在多大程度上推广到Nikishin框架下的同时Hermite-Padé逼近？
• RQ4 在Nikishin系统框架下，同时Gauss-Jacobi型求积规则是否收敛？
• RQ5 混合型多重正交多项式的比值渐近性如何推广Denisov-Rakhmanov定理？

主要发现

• 证明了Nikishin系统是完备的，提供了目前已知最大的满足该性质的函数类。
• 通过势论方法，建立了通用序列的多重正交多项式对数渐近性的结果。
• 在Nikishin框架下，同时Gauss-Jacobi型求积规则收敛，扩展了经典结果。
• 获得了Markov定理在同时Hermite-Padé逼近中的推广，将逼近误差与系统结构联系起来。
• 将Denisov-Rakhmanov定理推广到混合型多重正交多项式，表明在Nikishin框架下比值渐近性收敛。
• 线性型比值 $ \frac{{\mathcal{A}}_{\widetilde{\bf n}}(z)}{{\mathcal{A}}_{\bf n}(z)} $ 的极限在紧集上一致收敛于解析函数的乘积 $ \prod_{(l_1,l_2)\in L} C(\widetilde{l})\widetilde{\psi}^{(\widetilde{l})}_{0}(z) $。