[论文解读] Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere

Feng Dai, Д. В. Горбачев+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Mathematical Approximation and Integration参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了单位球面 $\mathbb{S}^d$ 上球面多项式 Nikolskii 常数的渐近行为，表明 $L^p$-范数不等式中的精确常数在 $n \to \infty$ 时收敛于 $\mathbb{R}^d$ 上指数型至多为 1 的整函数的相应常数。对于 $p=1$，$q=\infty$ 的情形，本文给出了精确极限；对于一般 $0<p<q\leq\infty$ 的情形，给出了精确的渐近界，将经典结果推广至球面情形，并给出了精确的渐近常数。

ABSTRACT

This paper studies the asymptotic behavior of the exact constants of the Nikolskii inequalities for the space $Π_n^d$ of spherical polynomials of degree at most $n$ on the unit sphere $\mathbb{S}^d\subset \mathbb{R}^{d+1}$ as $n o\infty$. It is shown that for $0

研究动机与目标

• 确定单位球面 $\mathbb{S}^d$ 上次数不超过 $n$ 的球面多项式的尖锐 Nikolskii 常数的渐近行为，当 $n \to \infty$ 时。
• 将圆周上三角多项式的经典 Nikolskii 不等式推广至 $\mathbb{S}^d$ 上的球面多项式，并给出精确的渐近常数。
• 在非负函数情形下，对 $p=1$，$q=\infty$ 的 Nikolskii 常数给出精确值，将其与指数型为 1 的整函数在 $L^\infty/L^1$ 范数比上的上确界联系起来。
• 证明 $\mathbb{S}^d$ 上 $L^p \to L^q$ 不等式的渐近尖锐常数与 $\mathbb{R}^d$ 上指数型至多为 1 的整函数的相应 $L^p \to L^q$ 范数常数一致。
• 对非负球面多项式的 $L^1 \to L^\infty$ 情形，给出尖锐常数的完整刻画，得到一个精确的闭式表达式。

提出的方法

• 作者利用 Gegenbauer 和 Jacobi 多项式对球面多项式进行积分表示，借助核函数 $G_n(x \cdot y)$ 将 $f \in \Pi_n^d$ 表示为球面卷积的形式。
• 应用 Paley-Wiener 定理，将球面多项式与 $\mathbb{R}^d$ 上的指数型整函数联系起来，从而实现 $L^p$-范数的比较。
• 证明依赖于 $\Pi_n^d$ 维数的渐近分析，使用 Stirling 公式，并取主导项 $\frac{2n^d}{\Gamma(d+1)}(1 + O(n^{-1}))$。
• 在 $L^1 \to L^\infty$ 情形，采用径向化技巧将问题简化为一维积分，并应用参数 $\alpha = \beta = \frac{d-2}{2}$ 的 Jacobi-Gauss-Radau 求积公式。
• 通过 $\mathcal{E}_1^d$ 中的极值函数，利用非负性及求积权重的结构，推导出 $L^1 \to L^\infty$ 比值的下界与上界。
• 关键技术步骤在于通过求积规则对非负球面多项式的 $L^1$-范数进行有界，其中权重 $\lambda_0$ 显式计算并用于推导尖锐上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，球面多项式在 $\mathbb{S}^d$ 上的尖锐 Nikolskii 常数 $C(n,d,p,q) = \sup_{\|P\|_{L^p}=1} \|P\|_{L^q}$ 的渐近行为是什么？
• RQ2 $\mathbb{S}^d$ 上 $L^p \to L^q$ 不等式的尖锐常数与 $\mathbb{R}^d$ 上指数型为 1 的整函数的常数有何关系？
• RQ3 在非负球面多项式情形下，$L^1 \to L^\infty$ 的 Nikolskii 常数的精确值是多少？
• RQ4 能否将 $\mathbb{S}^d$ 上 $L^p \to L^q$ 不等式的渐近尖锐常数刻画为 $f \in \mathcal{E}_p^d$ 上 $\|f\|_{L^q}/\|f\|_{L^p}$ 的上确界？
• RQ5 球面 $L^p \to L^q$ 范数的尖锐常数极限是否与 $\mathbb{R}^d$ 上指数型为 1 的整函数的相应极限一致？

主要发现

• 当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{S}^d$ 上 $L^p \to L^\infty$ 不等式的尖锐 Nikolskii 常数的极限等于所有 $L^p(\mathbb{R}^d)$ 中球面指数型至多为 1 的整函数 $f$ 的 $\|f\|_{L^\infty}/\|f\|_{L^p}$ 的上确界，其中 $0 < p < \infty$。
• 对于 $0 < p < q < \infty$，尖锐常数 $C(n,d,p,q)$ 的下极限满足 $\liminf_{n \to \infty} C(n,d,p,q) \geq \sup_{f \in \mathcal{E}_p^d} \|f\|_{L^q}/\|f\|_{L^p}$，在渐近情形下建立了下界。
• 非负球面多项式在 $L^1 \to L^\infty$ 情形下的 $L^1 \to L^\infty$ Nikolskii 常数的精确值为 $\frac{1}{4^d \pi^{d/2} \Gamma(d/2 + 1)}$，该结果通过求积与极值函数分析得出。
• 证明了 $\mathbb{S}^d$ 上 $L^p \to L^q$ 不等式的渐近尖锐常数与 $\mathcal{E}_p^d$ 上 $L^q/L^p$ 比值的上确界一致，确认了球面与欧氏不等式之间深层联系。
• $L^1 \to L^\infty$ 常数在 $n \to \infty$ 的极限下达到，且该界是尖锐的，等式由与 Poisson 核及 Jacobi 多项式相关的极值函数逼近。
• 采用参数 $\alpha = \beta = \frac{d-2}{2}$ 的 Jacobi-Gauss-Radau 求积公式，对非负球面多项式的 $L^1$-范数给出了精确上界，从而导出 $L^1 \to L^\infty$ 情形下的精确常数。