[论文解读] NISQ Algorithm for Hamiltonian Simulation via Truncated Taylor Series

Jonathan Wei Zhong Lau, Tobias Haug+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文提出截断泰勒量子模拟器（TQS），一种用于哈密顿量模拟的NISQ算法，将时间演化表述为具有单个等式约束的二次约束二次规划（QCQP）。通过利用半定松弛并避免经典-量子反馈，TQS避开了灾难性梯度消失问题（barren plateau），并与现有NISQ方法（如QAE和QAS）统一，通过系统性地采用更高阶泰勒展开来实现更高精度的模拟。

ABSTRACT

Simulating the dynamics of many-body quantum systems is believed to be one of the first fields that quantum computers can show a quantum advantage over classical computers. Noisy intermediate-scale quantum (NISQ) algorithms aim at effectively using the currently available quantum hardware. For quantum simulation, various types of NISQ algorithms have been proposed with individual advantages as well as challenges. In this work, we propose a new algorithm, truncated Taylor quantum simulator (TTQS), that shares the advantages of existing algorithms and alleviates some of the shortcomings. Our algorithm does not have any classical-quantum feedback loop and bypasses the barren plateau problem by construction. The classical part in our hybrid quantum-classical algorithm corresponds to a quadratically constrained quadratic program (QCQP) with a single quadratic equality constraint, which admits a semidefinite relaxation. The QCQP based classical optimization was recently introduced as the classical step in quantum assisted eigensolver (QAE), a NISQ algorithm for the Hamiltonian ground state problem. Thus, our work provides a conceptual unification between the NISQ algorithms for the Hamiltonian ground state problem and the Hamiltonian simulation. We recover differential equation-based NISQ algorithms for Hamiltonian simulation such as quantum assisted simulator (QAS) and variational quantum simulator (VQS) as particular cases of our algorithm. We test our algorithm on some toy examples on current cloud quantum computers. We also provide a systematic approach to improve the accuracy of our algorithm.

研究动机与目标

• 开发一种对噪声具有鲁棒性的NISQ算法，用于量子动力学模拟，避免灾难性梯度消失问题。
• 在单一优化框架下统一现有用于哈密顿量基态和动力学问题的NISQ方法。
• 提供一种系统性方法，通过时间演化算符的更高阶泰勒级数近似提升模拟精度。
• 消除对经典-量子反馈循环的需求，从而在基于云的量子硬件上实现更快执行。

提出的方法

• 将量子时间演化重新表述为具有单个二次等式约束的QCQP，从而支持通过半定松弛实现全局优化。
• 使用U3旋转和CNOT entangling层生成变分试探态，其参数通过经典方法优化。
• 实现时间演化算符U(Δt)的截断泰勒级数展开至一阶或二阶，替代Trotter分解。
• 在量子计算机上计算矩阵重叠（E, D, J），以构建优化目标和约束条件。
• 使用半定规划在经典计算机上求解QCQP问题，停止准则基于全局最优性的充分条件。
• 通过重用低阶矩阵（E, D）并添加新矩阵（如二阶项的J），实现更高阶精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种无需经典-量子反馈循环的NISQ算法用于哈密顿量模拟，以提升基于云系统的运行效率？
• RQ2 如何通过算法设计避免变分量子模拟算法中的灾难性梯度消失问题？
• RQ3 TQS算法的QCQP表述能否在基态与动力学模拟算法之间提供概念上的统一？
• RQ4 在NISQ时代，更高阶泰勒级数近似对量子模拟精度有何影响？
• RQ5 TQS中的优化问题能否被严格分析并以全局最优性保证求解？

主要发现

• TQS算法通过构造避免了灾难性梯度消失问题，因其经典优化问题具有良好的表征性，并可进行半定松弛。
• TQS的QCQP表述允许提供识别全局最小值的充分条件，从而为经典优化器提供可靠的停止准则。
• 在Δt趋近于零的极限下，TQS可恢复QAS和VQS作为特例，建立了基态与动力学模拟算法之间的概念统一。
• 该算法通过系统性地采用更高阶泰勒展开实现精度提升，其中二阶修正仅需额外计算一个矩阵J。
• TQS框架在升级至更高阶近似时可重用先前计算的矩阵（E, D），从而降低量子资源开销。