[论文解读] Nitsche's method method for mixed dimensional analysis: conforming and non-conforming continuum-beam and continuum-plate coupling

Vinh Phu Nguyen, Pierre Kerfriden+2 more|Open Repository and Bibliography (University of Luxembourg)|Aug 13, 2013

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 68被引用 15

一句话总结

本文提出了一种基于Nitsche方法的耦合方法，用于在混合维数分析中连接固体连续体与梁和板，采用一致和非一致的公式。该方法通过稳定参数弱强制界面条件，实现了稳定且一致的耦合，在等几何和有限元设置中表现出高精度和高灵活性，特别适用于复合结构的自适应建模。

ABSTRACT

A Nitche's method is presented to couple different mechanical models. They include coupling of a solid and a beam and of a solid and a plate. Both conforming and non-conforming formulations are presented. In a non-conforming for- mulation, the structure domain is overlapped by a refined solid model. Applications can be found in multi-dimensional analyses in which parts of a structure are modeled with solid elements and others are modeled using a coarser model with beam and/or plate elements. Discretisations are performed using both standard Lagrange elements and high order NURBS (Non Uniform Rational Bsplines) based isogeometric elements. We present various examples to demonstrate the performance of the method.

研究动机与目标

• 开发一种用于3D连续体与1D梁或2D板之间混合维数分析（MDA）的鲁棒、弱强制耦合方法。
• 通过提供更稳定和灵活的替代方案，解决传统耦合方法（如拉格朗日乘子法、罚方法和多点约束）的局限性。
• 实现一致和非一致耦合，特别支持通过重叠网格实现的模型自适应性。
• 通过高效耦合高保真度固体单元与降维的梁/板模型，将等几何分析（IGA）的适用性扩展到大规模复合结构。
• 为选择确保刚度矩阵正定性的稳定参数提供理论基础。

提出的方法

• 采用Nitsche方法公式，弱强制连续体与梁/板模型之间界面处的位移连续性和牵引力平衡。
• 该方法用物理通量替代拉格朗日乘子，并添加一致的罚项以稳定双线性形式并确保强制性。
• 使用标准拉格朗日有限元和高阶NURBS基等几何单元实现该公式，以提高精度和光滑性。
• 对于非一致耦合，固体域与梁或板域重叠，采用水平集方法检测单元交集并精确积分界面项。
• 对双线性形式进行数值分析，推导出确保全局刚度矩阵正定性的稳定参数理论下界。
• 该方法支持经典和一阶剪切变形梁/板理论，可实现厚结构的建模。

实验结果

研究问题

• RQ1 在混合维数分析中，如何在3D固体单元与1D梁或2D板模型之间实现稳定且一致的耦合？
• RQ2 在Nitsche方法中，为确保混合维数耦合中刚度矩阵的正定性，稳定参数的最优选择是什么？
• RQ3 与传统方法（如mortar法、罚方法、MPC）相比，Nitsche基耦合在精度、稳定性及实现复杂度方面的表现如何？
• RQ4 在等几何分析中，能否高效实现具有重叠网格的非一致耦合，以支持复合结构的自适应建模？
• RQ5 使用高阶NURBS单元在多维问题中对精度和收敛性有多大提升？

主要发现

• 所提出的基于Nitsche的方法在混合维数问题中，对线性拉格朗日和高阶NURBS基等几何离散化均实现了最优收敛率。
• 数值算例显示，耦合的固-板和固-梁模型与参考解高度一致，基准算例中位移和应力的相对误差低于1%。
• 稳定参数通过理论分析确定了下界，以确保刚度矩阵的正定性，且经验取值（如$1 \times 10^6$）可获得稳定且精确的结果。
• 具有重叠网格的非一致耦合实现了灵活的模型自适应性，通过移动固体区域并保持无需重划分网格的高精度结果得到验证。
• 该方法在实现简便性方面优于传统方法，避免了拉格朗日乘子空间的引入和罚参数调优的需要。
• 结合无旋转自由度的Kirchhoff NURBS板单元与Nitsche耦合，可实现对薄板的高精度建模，且自由度最少。