[论文解读] NLTS Hamiltonians and Strongly-Explicit SoS Lower Bounds from Low-Rate Quantum LDPC Codes

Louis Golowich, Tali Kaufman|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

该论文利用低速率量子LDPC码构造了NLTS哈密顿量和强显式的和平方（SoS）下界。通过引入一种新方法，在线性距离的量子LDPC码中‘植入’一个强显式的非平凡码字（全1向量），作者消除了对计算成本高昂的高斯消去法的依赖，从而首次实现了ℓ-LIN和3-XOR CSPs的强显式SoS下界，同时证明了NLTS哈密顿量可由任意正维度的码构造，而不仅限于线性维度的码。

ABSTRACT

Recent constructions of the first asymptotically good quantum LDPC (qLDPC) codes led to two breakthroughs in complexity theory: the NLTS (No Low-Energy Trivial States) theorem (Anshu, Breuckmann, and Nirkhe, STOC'23), and explicit lower bounds against a linear number of levels of the Sum-of-Squares (SoS) hierarchy (Hopkins and Lin, FOCS'22). In this work, we obtain improvements to both of these results using qLDPC codes of low rate: - Whereas Anshu et al. only obtained NLTS Hamiltonians from qLDPC codes of linear dimension, we show the stronger result that qLDPC codes of arbitrarily small positive dimension yield NLTS Hamiltonians. - The SoS lower bounds of Hopkins and Lin are only weakly explicit because they require running Gaussian elimination to find a nontrivial codeword, which takes polynomial time. We resolve this shortcoming by introducing a new method of planting a strongly explicit nontrivial codeword in linear-distance qLDPC codes, which in turn yields strongly explicit SoS lower bounds. Our "planted" qLDPC codes may be of independent interest, as they provide a new way of ensuring a qLDPC code has positive dimension without resorting to parity check counting, and therefore provide more flexibility in the code construction.

研究动机与目标

• 为克服先前SoS下界中弱显式性的问题，即需要多项式时间的高斯消去法来寻找非平凡码字。
• 证明NLTS哈密顿量可由任意正维度的量子LDPC码构造，而不仅限于线性维度的码。
• 开发一种新方法，确保量子LDPC码具有正维度，且不依赖于校验矩阵计数。
• 提供一种具有显式已知非平凡码字的线性距离量子LDPC码的新构造，增强其在量子复杂性理论中的灵活性与适用性。

提出的方法

• 提出一种新型量子LDPC码构造方法，其中‘植入’一个非平凡码字，即全1向量，以确保强显式性。
• 利用小集（共）边界膨胀作为关键性质，以保证NLTS和SoS下界结果。
• 将植入的码字应用于实例化ℓ-LIN问题，其中β = 1，由于全1向量在计算上是平凡的，因此这些实例是强显式的。
• 通过用植入构造替换弱显式码字，利用[HL22]中已有的SoS下界框架，将弱显式码字替换为强显式码字。
• 证明基于低速率qLDPC码的哈密顿量满足NLTS性质，其依据是小集膨胀，而非线性维度或局部可测试性。
• 通过显式矩阵构造构建量子Tanner码，保证存在非平凡码字，避免使用概率计数论证来确定维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以由任意正维度的量子LDPC码构造NLTS哈密顿量，而非必须依赖线性维度？
• RQ2 是否可能在不依赖高斯消去法寻找非平凡码字的前提下，实现CSPs的强显式SoS下界？
• RQ3 能否构造一个具有保证正维度且已知、可显式计算的非平凡码字的量子LDPC码，而不使用校验矩阵计数？
• RQ4 仅靠小集（共）边界膨胀是否足以在局部哈密顿量中蕴含NLTS性质，而独立于码的维度或局部可测试性？
• RQ5 植入码字技术是否可用于构造一个强显式CSP族，使其抵抗由线性数量SoS层级的反驳？

主要发现

• 该论文从任意正维度的量子LDPC码中构造了NLTS哈密顿量，消除了[ABN23]中对线性维度的先前要求。
• 作者提出一种新方法，在线性距离的量子LDPC码中‘植入’全1向量作为非平凡码字，确保强显式性。
• 该植入构造首次实现了无法被Ω(n)层SoS层级反驳的强显式ℓ-LIN实例族。
• 相同构造也首次实现了满足性≤(1−Ω(1))且抵抗cn层SoS反驳（c>0为小常数）的强显式3-XOR实例。
• 该方法避免了使用校验矩阵计数来确认维度，提供了一种新的、构造性的方式，以确保qLDPC码具有正维度。
• 结果表明，即使没有线性维度或局部可测试性，小集（共）边界膨胀本身已足够支持NLTS和SoS下界。