[论文解读] No cohomologically trivial non-trivial automorphism of generalized Kummer manifolds

Keiji Oguiso|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文证明了任何与广义Kummer流形形变等价的超凯勒流形的自同构群在它的总整上同调群上作用忠实。通过将Boissière、Nieper-Wisskirchen与Sarti关于第二上同调的结果加以推广，作者利用形变理论和凯勒模空间上的余稠密性论证，证明即使自同构在H²上作用平凡，它在所有上同调群上也不会平凡作用，从而表明没有非平凡自同构在全部上同调上作用平凡。

ABSTRACT

We prove that the natural representaion, on the total Betti cohomolgy group, of the automorphism group of a hyperkähler manifold deformation equivalent to a generalized Kummer manifold is faithful. This is a sort of generalization of an earlier work of Beauville and a recent work of Boissére, Nieper-Wisskirchan and Sarti, concerning the representation on the second cohomology group.

研究动机与目标

• 确定与广义Kummer流形形变等价的超凯勒流形的自同构群在总上同调上的作用是否忠实。
• 将Beauville以及Boissière等人关于第二上同调的结果推广至整个上同调环。
• 解决Dusa McDuff关于紧致凯勒流形上同调平凡但非平凡的自同构存在的问题。
• 通过全局Torelli型论证，为广义Kummer流形及其形变建立上同调忠实性结果。

提出的方法

• 通过检查H²作用核中的非平凡元素（即T(n) ⋊ ⟨ι⟩）在更高上同调群上的作用非平凡，证明原始广义Kummer流形K_{n-1}(A)在总上同调上的忠实性。
• 显式计算由n阶挠点和取反自同构在K_{n-1}(A)上诱导的上同调作用。
• 应用Markman与Mehrotra在凯勒模空间上的余稠密性结果，将K_{n-1}(A)上的忠实性推广至所有广义Kummer流形的形变Y。
• 利用同调平凡自同构诱导H¹(Y, T_Y)上平凡作用的事实，导致在全族上平凡单值性，从而得出全局作用平凡。
• 通过辛形式建立H¹(Y, T_Y)与H¹(Y, Ω¹_Y)之间的同构，将自同构在切丛与余切丛上的作用联系起来。
• 利用凯勒模空间的连续性与豪斯多夫性，得出若全局自同构在所有纤维上平凡，则其必为平凡自同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Kummer流形的自同构群是否在它的总整上同调上作用忠实，而不仅是在H²上？
• RQ2 H²上作用的核（已知为T(n) ⋊ ⟨ι⟩）是否能在更高上同调上被平凡化？
• RQ3 任何广义Kummer流形的形变Y的自同构群在总上同调上的作用是否忠实？
• RQ4 同调平凡的自同构（在H²上平凡）是否仍能在更高上同调上非平凡作用？

主要发现

• 对于任何与广义Kummer流形形变等价的超凯勒流形Y，其自同构群在总上同调H*(Y, ℤ)上的作用是忠实的。
• 对于原始广义Kummer流形K_{n-1}(A)，T(n) ⋊ ⟨ι⟩中的自同构在某个k ≥ 4的H^k上作用非平凡，尽管它们在H²上作用平凡。
• H²上作用的核（T(n) ⋊ ⟨ι⟩）不能扩展为在完整上同调环上同调平凡的自同构。
• 通过凯勒模空间的余稠密性与单值性论证，该结果可推广至K_{n-1}(A)的所有形变Y。
• 该证明依赖于这样一个事实：若一个同调平凡的自同构在H¹(Y, T_Y)上诱导平凡作用，则其必须在整体上平凡，这是由于基空间的连续性与豪斯多夫结构。
• 该结果对Dusa McDuff关于存在同伦于恒等映射但同调平凡的非平凡自同构的问题给出了否定回答。