[论文解读] No-Hair Theorems and Black Holes with Hair

Markus Heusler|ArXiv.org|Oct 11, 1996

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 49

一句话总结

本文通过分析杨-米尔斯场和标量毛发导致的黑洞解唯一性失效，重新审视了广义相对论中无毛定理的基础。该文利用散度恒等式、能量条件和共形技巧，将无毛定理推广至具有任意黎曼目标流形的调和映射情形，证明在特定约束下，克尔-纽曼度规仍保持唯一性，尽管在非交换规范理论中存在反例。

ABSTRACT

The critical steps leading to the uniqueness theorem for the Kerr-Newman metric are reexamined in the light of the new black hole solutions with Yang-Mills and scalar hair. Various methods -- including scaling techniques, arguments based on energy conditions, conformal transformations and divergence identities -- are reviewed, and their range of application to selfgravitating scalar and non-Abelian gauge fields is discussed. In particular, the no-hair theorem is extended to harmonic mappings with arbitrary Riemannian target manifolds. (This paper is an extended version of an invited lecture held at the Journées Relativistes 96.)

研究动机与目标

• 在存在杨-米尔斯场和标量毛发的反例背景下，重新评估静态黑洞唯一性定理的逻辑结构。
• 识别标准唯一性证明中在更一般的物质内容下（特别是自引力标量场和非阿贝尔规范场）仍有效的步骤。
• 将无毛定理推广至具有任意黎曼目标流形的调和映射情形，推广先前结果。
• 研究能量条件、共形变换和散度恒等式在证明黑洞解唯一性中的作用。
• 阐明克尔-纽曼度规在何种条件下仍为唯一解，尽管在某些规范理论中存在毛发黑洞解。

提出的方法

• 应用散度恒等式和能量条件论证，为含标量场和规范场的爱因斯坦-麦克斯韦系统推导局部守恒律。
• 利用黑洞热力学的广义第一定律，确立Killing场的静态性和超曲面正交性。
• 采用厄恩斯特形式化方法，将场方程约化为二维边值问题，从而可应用罗宾森恒等式以证明唯一性。
• 从场方程导出形式为 $ d^lat j = 0 $ 的守恒流，识别出可产生守恒量的1-形式组合 $ rac{dV}{V}, rac{ u}{V^2}, d ilde{ ho}, d ilde{ au} $。
• 构造显式的微分恒等式，如 $ d^lat ig( ext{组合 of } rac{d ilde{ ho}}{V}, rac{d ilde{ au}}{V}, rac{ u}{V^2}, rac{dV}{V} ig) = 0 $，从而对视界量施加约束。
• 利用Smarr公式和推导出的恒等式，消除NUT电荷（$ U_H = 0 $），并导出霍金温度 $ T_H = rac{2}{ ilde{A}} ig( M^2 - Q^2 - P^2 ig)^{1/2} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准无毛定理证明中的哪些假设被杨-米尔斯场或标量毛发的黑洞解所违反？
• RQ2 无毛定理能否推广至具有任意黎曼目标流形的调和映射情形？
• RQ3 在非阿贝尔规范场存在的情况下，散度恒等式和能量条件在何种条件下仍能保证唯一性？
• RQ4 从场方程导出的守恒流如何约束视界量和热力学参数？
• RQ5 厄恩斯特形式化方法和 $ d^lat J^a_b = 0 $ 结构在推导霍金温度公式中起什么作用？

主要发现

• 满足所推导守恒律的解中，NUT电荷为零（$ U_H = 0 $），证实无NUT电荷时不存在引力毛发。
• 视界电磁势满足 $ ilde{ ho}_H Q = ilde{ au}_H P $，这是守恒流 $ d^lat ig( ilde{ ho} rac{d ilde{ au}}{V} - ilde{ au} rac{d ilde{ ho}}{V} + ( ilde{ ho}^2 + ilde{ au}^2) rac{ u}{V^2} ig) = 0 $ 的直接结果。
• 推导出Smarr公式 $ M = M_H + ilde{ ho}_H Q + ilde{ au}_H P $，并用于将视界势表示为全局电荷和质量的函数。
• 霍金温度被导出为 $ T_H = rac{2}{ ilde{A}} ig( M^2 - Q^2 - P^2 ig)^{1/2} $，与克尔-纽曼解一致。
• 非平凡守恒流 $ d^lat j = 0 $ 的存在与厄恩斯特方程的非线性σ模型结构相关，其中 $ J^a_b = ilde{ ho}^{-1} d ilde{ ho} $，证实了该系统的可积性。
• 该方法成功地将无毛定理推广至具有任意黎曼目标流形的调和映射情形，超越了标准电磁真空情形。