[论文解读] Nodal solutions for Lane-Emden problems in almost-annular domains

Anna Lisa Amadori, Francesca Gladiali+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 6

一句话总结

该论文证明了在小的 $ C^2 $-扰动的环形区域 $ \Omega_t $ 上，对于所有 $ p > 1 $ 除了一个在 $ +\infty $ 处聚集的离散序列 $ \{p_k\} $，Lane-Emden 方程 $ -\Delta u = |u|^{p-1}u $ 存在具有恰好 $ m $ 个节点区域的节点解。该结果依赖于在未扰动环形区域中的径向节点解应用隐函数定理，其非退化性在除由特征值条件刻画的孤立临界指数外均成立。

ABSTRACT

In this paper we prove an existence result to the problem $$\left\{\begin{array}{ll} -Δu = |u|^{p-1} u \qquad & ext{in} Ω, \\ u= 0 & ext{on} \partialΩ, \end{array} ight. $$ where $Ω$ is a bounded domain in ${\mathbb R}^{N}$ which is a perturbation of the annulus. Then there exists a sequence $p_11$ and $p e p_k$ there exist at least one solution with $m$ nodal zones. In doing so, we also investigate the radial nodal solution in an annulus: we provide an estimate of its Morse index and analyze the asymptotic behavior as $p o 1$. Keywords: semilinear elliptic equations, nodal solutions, supercritical problems.

研究动机与目标

• 在小的 $ C^2 $-扰动环形区域中，建立具有 $ m $ 个节点区域的节点解的存在性。
• 确定在环形区域中径向节点解非退化的指数 $ p $ 的集合，以使隐函数定理得以应用。
• 将存在性结果推广至超临界指数 $ p \to \infty $，克服 Sobolev 嵌入中紧性失效的问题。
• 刻画扰动区域中节点解的 Morse 指数，并分析其在 $ p \to 1 $ 和 $ p \to \infty $ 时的渐近行为。

提出的方法

• 通过微分同胚将扰动区域 $ \Omega_t $ 上的问题转化为参考环形区域 $ A $ 上的问题，引入线性扰动算子 $ L_t $。
• 在 $ \mathbb{R} \times C^{2,\gamma}_0(\bar{A}) $ 上定义 $ C^1 $-映射 $ F(t, v) = -\Delta v - L_t v - |v|^{p-1}v $，满足 $ F(0, v_p) = 0 $，其中 $ v_p $ 为环形区域中的径向解。
• 在 $ t = 0 $ 处应用隐函数定理，要求 Fréchet 导数 $ D_v F(0, v_p) $ 可逆，这恰好在 $ v_p $ 非退化时成立。
• 通过特征值条件 $ \nu_l(p) = -j(N-2+j) $ 或 $ \nu_m(p) = -(N-1) $ 刻画径向节点解 $ v_p $ 的退化性，这些条件仅在孤立的 $ p $-值处成立。
• 证明退化 $ p $-值的集合是可数的，且仅在 $ +\infty $ 处聚集，从而确保对所有 $ p \neq p_k $ 解的存在性。
• 建立解族 $ v_t $ 在 $ C^{2,\gamma} $ 中的连续性，确保在小扰动下节点区域的数量保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些指数 $ p > 1 $，Lane-Emden 问题在小扰动环形区域 $ \Omega_t $ 中存在具有 $ m $ 个节点区域的节点解？
• RQ2 环形区域中径向节点解在何种条件下非退化，从而可通过隐函数定理实现延拓？
• RQ3 扰动区域中节点解的 Morse 指数如何变化？其在 $ p \to 1 $ 和 $ p \to \infty $ 时的渐近行为如何？
• RQ4 当 $ p \to 1 $ 和 $ p \to \infty $ 时，节点解的渐近轮廓是什么？其与环形区域中径向解有何关系？
• RQ5 即使 Pohozaev 恒等式排除了星形区域中解的存在性，是否仍可在具有空洞的区域中将节点解的存在性推广至超临界指数？

主要发现

• 存在一个序列 $ \{p_k\} $，满足 $ p_k \nearrow +\infty $，使得对所有 $ p > 1 $，$ p \neq p_k $，当 $ t $ 足够小时，问题在 $ \Omega_t $ 中至少存在一个具有恰好 $ m $ 个节点区域的经典解。
• 环形区域中径向节点解非退化的充要条件是：对任意 $ l = 1,\dots,m $，$ j \geq 2 $，均有 $ \nu_l(p) \neq -j(N-2+j) $，且 $ \nu_m(p) \neq -(N-1) $。
• 扰动区域 $ \Omega_t $ 中解 $ u_p $ 的 Morse 指数等于环形区域中径向解 $ v_p $ 的 Morse 指数，即 $ m(u_p) = m(v_p) $。
• 当 $ p \to \infty $ 时，解的 Morse 指数满足 $ \lim_{p \to \infty} m(u_p) = +\infty $，表明其振荡性和复杂性不断增加。
• 当 $ p $ 接近 1 时，$ \Omega_t $ 中的解 $ u_p $ 在 $ C^0 $-范数下一致接近函数 $ \psi_m(y + t\tilde{\sigma}(y)) $，该函数与线性化问题的首阶特征函数相关。
• 当 $ p $ 较大时，解 $ u_p $ 在 $ C^0 $-范数下一致接近一个径向函数 $ \omega(y + t\tilde{\sigma}(y)) $，其轮廓由环形区域中径向解在 $ p \to \infty $ 时的渐近行为决定。