[论文解读] Noether conservation laws issue from the gauge invariance of an Euler-Lagrange operator, but not a Lagrangian

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Feb 6, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文证明了即使基础拉格朗日量不具有规范不变性，诺特守恒律仍可源自欧拉-拉格朗日算子的规范不变性。通过分析规范变换下欧拉-拉格朗日算子的李导数，并利用第一变分公式，作者表明：仅通过变分平凡拉格朗日量，算子的规范不变性即可导致弱守恒律，从而将诺特定理由标准拉格朗日不变性推广至更一般情形。

ABSTRACT

As is well known, there are different Lagrangians which lead to the same Euler-Lagrange operator. The gauge invariance of a Lagrangian guarantees that of the corresponding Euler-Lagrange operator, but not vice versa. We show that the gauge invariance of an Euler-Lagrange operator, but not a Lagrangian results in Noether conservation laws.

研究动机与目标

• 探究诺特守恒律是否可源自欧拉-拉格朗日算子的规范不变性，而非拉格朗日量本身的规范不变性。
• 阐明拉格朗日量的规范不变性、其欧拉-拉格朗日算子的规范不变性与所产生守恒律之间的关系。
• 通过识别仅算子规范不变性即蕴含守恒律的条件，扩展诺特第一定理。
• 刻画变分平凡拉格朗日量在欧拉-拉格朗日算子层面保持规范对称性中的作用。

提出的方法

• 使用喷丛 $Y \to X$ 上的一阶场论形式化方法，借助适配坐标 $(x^\lambda, y^i, y^i_\lambda)$ 的喷从丛 $J^1Y$ 与 $J^2Y$。
• 通过第一变分公式定义欧拉-拉格朗日算子 $\mathcal{E}_L$，表达式为 $\mathcal{E}_L = (\partial_i \mathcal{L} - d_\lambda \partial^\lambda_i)\mathcal{L} \theta^i \wedge \omega$。
• 利用喷从提升的规范向量场 $J^1u$ 沿其方向的李导数 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ 分析不变性性质。
• 应用第一变分公式 $\mathbf{L}_{J^1u}L = u_V \rfloor \mathcal{E}_L + h_0 d(u \rfloor H_L)$，将李导数分解为几何与变分两部分。
• 建立 $\mathbf{L}_{J^2u}\mathcal{E}_L = 0$ 当且仅当 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ 为变分平凡，即 $\mathbf{L}_{J^1u}L = h_0(\varphi)$，其中 $\varphi$ 为 $Y$ 上的闭 $n$-形式。
• 通过 $0 \approx h_0 d(u \rfloor H_L - \sigma)$ 在解空间 $\text{Ker}\,\mathcal{E}_L$ 上导出弱守恒律，当 $\varphi = d\sigma$ 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当拉格朗日量本身不具规范不变性时，是否仍可从欧拉-拉格朗日算子的规范不变性导出诺特守恒律？
• RQ2 欧拉-拉格朗日算子的规范不变性蕴含守恒律的精确条件是什么？
• RQ3 第一变分公式如何将拉格朗日量的李导数与欧拉-拉格朗日算子及守恒律联系起来？
• RQ4 变分平凡拉格朗日量在欧拉-拉格朗日算子的规范不变性中扮演何种角色？
• RQ5 在何种条件下，算子的规范不变性可导致解流形上的弱守恒律？

主要发现

• 欧拉-拉格朗日算子 $\mathcal{E}_L$ 的规范不变性即使在基础拉格朗日量 $L$ 不具规范不变性时，亦蕴含诺特守恒律的存在。
• 条件 $\mathbf{L}_{J^2u}\mathcal{E}_L = 0$ 成立当且仅当李导数 $\mathbf{L}_{J^1u}L$ 为变分平凡，即 $\mathbf{L}_{J^1u}L = h_0(\varphi)$，其中 $\varphi$ 为 $Y$ 上的闭 $n$-形式。
• 当 $\varphi = d\sigma$ 为恰当形式时，守恒律在解空间 $\text{Ker}\,\mathcal{E}_L$ 上表现为 $0 \approx h_0 d(u \rfloor H_L - \sigma)$。
• 对于任意其他拉格朗日量 $L' = L + L_0$（其中 $L_0$ 为变分平凡），均得到相同的守恒律，表明其在拉格朗日量等价关系下保持不变。
• 第一变分公式 $\mathbf{L}_{J^1u}L = u_V \rfloor \mathcal{E}_L + h_0 d(u \rfloor H_L)$ 提供了将规范对称性与守恒律相联系的几何分解。
• 该结果通过表明算子的规范不变性（而非拉格朗日量）可成为守恒律的来源，推广了诺特第一定理。