[论文解读] Noether's problem and unramified Brauer groups

Akinari Hoshi, Ming-chang Kang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用 14

一句话总结

该论文通过证明：对于任意奇素数 $ p $，有限 $ p $-群 $ G $ 的阶为 $ p^5 $ 时，其无分歧布饶尔群 $ B_0(G) $ 非平凡当且仅当 $ G $ 属于同构型族 $ \Phi_{10} $，从而推翻了 Bogomolov 早先声称所有阶为 $ p^5 $ 的 $ p $-群均有 $ B_0(G) = 0 $ 的论断。该结果通过无分歧布饶尔群精确刻画了诺特问题中理性性的障碍。

ABSTRACT

Let $k$ be any field, $G$ be a finite group acing on the rational function field $k(x_g:g\in G)$ by $h\cdot x_g=x_{hg}$ for any $h,g\in G$. Define $k(G)=k(x_g:g\in G)^G$. Noether's problem asks whether $k(G)$ is rational (= purely transcendental) over $k$. It is known that, if $\bm{C}(G)$ is rational over $\bm{C}$, then $B_0(G)=0$ where $B_0(G)$ is the unramified Brauer group of $\bm{C}(G)$ over $\bm{C}$. Bogomolov showed that, if $G$ is a $p$-group of order $p^5$, then $B_0(G)=0$. This result was disproved by Moravec for $p=3,5,7$ by computer calculations. We will prove the following theorem. Theorem. Let $p$ be any odd prime number, $G$ be a group of order $p^5$. Then $B_0(G) e 0$ if and only if $G$ belongs to the isoclinism family $Φ_{10}$ in R. James's classification of groups of order $p^5$.

研究动机与目标

• 精确确定阶为 $ p^5 $ 的有限 $ p $-群中哪些群具有非平凡的无分歧布饶尔群，从而解决先前结果之间的矛盾。
• 澄清非交换 $ p $-群的固定域 $ k(G) $ 的理性与 Bogomolov 乘子 $ B_0(G) $ 之间的关系。
• 为代数闭域 $ k $ 上的 $ k(G) $ 不是有理函数域的 $ p $-群 $ p^5 $-群提供完整分类。
• 构造 $ \Phi_{10} $ 家族中群的显式线性表示 $ G \to GL(V) $，使得不变域 $ k(V)^G $ 不是有理函数域，从而证明商簇的非理性。

提出的方法

• 利用群上同调定义 Bogomolov 乘子 $ B_0(G) $ 为从 $ H^2(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) $ 到所有双循环子群 $ A \leq G $ 的限制映射核的交集。
• 应用 Saltman 与 Bogomolov 的定理，当 $ k $ 为代数闭域且 $ \gcd(|G|, \operatorname{char}k) = 1 $ 时，将 $ B_0(G) $ 识别为无分歧布饶尔群 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) $。
• 对 R. James 分类的 10 个同构型族的 $ p^5 $-群进行逐个分析，利用群的表示和特征标诱导计算 $ B_0(G) $。
• 构造 $ G \to GL(V) $ 的忠实线性表示（当 $ p $ 为奇素数时维数为 $ p^2 $，当 $ p=2 $ 时维数为 8），使得 $ k(V)^G $ 不是有理函数域，方法为从阿贝尔子群诱导表示。
• 利用引理 1.3 与定理 3.1，将 $ k(V)^G $ 的无分歧布饶尔群与 $ k(G) $ 的无分歧布饶尔群关联，保持非平凡性。
• 借助计算机辅助计算（如 Moravec 所用方法），验证 $ p=3,5,7 $ 时 $ B_0(G) $ 非零，从而确认对所有奇素数结论成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些阶为 $ p^5 $ 的有限 $ p $-群 $ G $，其无分歧布饶尔群 $ B_0(G) $ 非平凡？
• RQ2 Bogomolov 声称所有阶为 $ p^5 $ 的 $ p $-群均有 $ B_0(G) = 0 $，这一结论是否成立？
• RQ3 能否通过无分歧布饶尔群的非平凡性来检测 $ k(G) $ 的非理性？
• RQ4 在哪些 $ p^5 $-群的同构型族中，存在忠实线性表示 $ G \to GL(V) $ 使得 $ k(V)^G $ 不是有理函数域？
• RQ5 当 $ k(V)^G $ 不是有理函数域时，商簇 $ \mathbb{P}(V)/G $ 在代数闭域上是否为有理簇？

主要发现

• 对于任意奇素数 $ p $，$ B_0(G) \neq 0 $ 当且仅当 $ G $ 属于 James 对 $ p^5 $-群分类中的同构型族 $ \Phi_{10} $。
• 该结果推翻了 Bogomolov 声称所有阶为 $ p^5 $ 的 $ p $-群均有 $ B_0(G) = 0 $ 的论断，尤其对 $ p=3,5,7 $，Moravec 的计算反例已证实此结论。
• 当 $ G \in \Phi_{10} $ 时，存在忠实线性表示 $ G \to GL(V) $，其中 $ \dim_k V = p^2 $，使得 $ k(V)^G $ 在特征 $ \neq p $ 的代数闭域 $ k $ 上不是有理函数域。
• 对于 16 阶同构型族中阶为 64 的群，存在维数为 8 的忠实表示，使得 $ k(V)^G $ 不是有理函数域，从而推出 $ \mathbb{P}(V)/G $ 不是有理簇。
• 无分歧布饶尔群 $ \operatorname{Br}_{v,k}(k(G)) $ 同构于 $ B_0(G) $，且其非平凡性意味着 $ k(G) $ 不是可收缩有理函数域，因而不是有理函数域。
• 证明表明，所有不属于 $ \Phi_{10} $ 的 $ p^5 $-群均有 $ B_0(G) = 0 $，从而为这些群在诺特问题中的理性障碍提供了完整分类。