[论文解读] Noether's theorem, the stress-energy tensor and Hamiltonian constraints

Michel Leclerc|ArXiv.org|Aug 20, 2006

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文在规范对称性和坐标对称性的背景下重新审视了诺特定理，表明线性对称性——介于全局对称性和局部对称性之间的中间类型——通过四维散度表达式导致当前守恒。它表明，在一般协变的一阶理论中，贝尔林丹应力-能量张量恒等于零，从而解释了为何引力应力-能量赝张量的散度为零，而狭义相对论中的则不是。

ABSTRACT

Noether's theorem is reviewed with a particular focus on an intermediate step between global and local gauge and coordinate transformations, namely linear transformations. We rederive the well known result that global symmetry leads to charge conservation (Noether's first theorem), and show that linear symmetry allows for the current to be expressed as a four divergence. Local symmetry leads to identical conservation of the current and allows for the expression of the charge as two dimensional surface integral (Noether's second theorem). In the context of coordinate transformations, an additional step (Poincare symmetry) is of physical interest and leads to the definition of the symmetric Belinfante stress-energy tensor, which is then shown to be identically zero in generally covariant first order theories. The intermediate step of linear symmetry turns out to be important in general relativity when the customary first order Lagrangian is used, which is covariant only under affine transformations. In addition, we derive explicitely the canonical stress-energy tensor in second order theories in its identically conserved form. Finally, we analyze the relations between the generators of local transformations, the corresponding currents and the Hamiltonian constraints.

研究动机与目标

• 阐明介于全局对称性和局部对称性之间的中间对称性——特别是线性变换——在导出守恒律中的作用。
• 解决广义相对论与狭义相对论中应力-能量张量散度性质之间的明显矛盾。
• 在二阶理论中推导出规范应力-能量张量和贝尔林丹应力-能量张量，并展示其恒为守恒形式。
• 建立第一类约束系统中局部变换生成元、守恒流与哈密顿约束之间的对应关系。
• 证明在一般协变的一阶理论中，贝尔林丹应力-能量张量恒为零，从而解释引力赝张量的结构。

提出的方法

• 将诺特的第一和第二定理应用于内部规范对称性，从拉格朗日量的全局和局部不变性推导出守恒流。
• 引入线性变换作为中间对称类，表明流以四维散度形式守恒。
• 按顺序分析庞加莱对称性、仿射对称性和一般坐标对称性，追踪局部性增强如何导致电荷的曲面积分表达式。
• 在二阶理论中推导出规范应力-能量张量，并通过贝恩哈迪恒等式证明其恒为守恒形式。
• 使用类似电动力学中库仑规范的高斯型约束形式形式，消除线性化引力中的非传播模式。
• 将规范和坐标变换的生成元与哈密顿第一类约束联系起来，表明二级约束 $P + \tilde{P} = 0$ 在度量的传播分量上生成空间微分同胚变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何广义相对论中的应力-能量赝张量恒为散度为零，而狭义相对论中的却不是？
• RQ2 介于全局和局部规范变换之间的线性对称性步骤具有何种物理意义？
• RQ3 贝尔林丹应力-能量张量在一般协变的一阶理论中表现如何？
• RQ4 在约束系统中，局部对称性生成元、守恒流与哈密顿约束之间存在何种关系？
• RQ5 能否在线性化引力中构造一个完全固定的规范，以消除所有非传播模式并将自由度减少到两个？

主要发现

• 线性对称性导致以四维散度形式守恒的流，为全局与局部守恒律之间提供了桥梁。
• 在一般协变的一阶理论中，贝尔林丹应力-能量张量恒为零，解释了引力中不存在非平凡守恒流的原因。
• 在二阶理论中，规范应力-能量张量恒为守恒形式，这由贝恩哈迪恒等式保证，即使拉格朗日量依赖于二阶导数也成立。
• 局部对称性理论中电荷的曲面积分形式（诺特第二定理）确保总电荷与时空体积无关，这是引力理论中的关键特征。
• 二级约束 $P + \tilde{P} = 0$ 在度量的传播分量上生成空间微分同胚变换，类似于杨-米尔斯理论中的规范变换。
• 在线性化极限下，$ \psi_{\mu\nu}$ 的场方程简化为 $\Box\psi_{\alpha\beta} = -2\mathcal{T}_{\alpha\beta}$，在横向性和迹条件成立时，确认其与标准方法的等价性。