[论文解读] Noether Symmetries and Covariant Conservation Laws in Classical, Relativistic and Quantum Physics

L. Fatibene, M. Francaviglia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2010

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文利用喷丛微分几何与庞加莱-卡坦形式，为经典、相对论及量子场论中的诺特定称对称性与协变守恒律建立了严格的框架。研究证明，能量、动量与角动量等由对称性导出的守恒流，在广义相对论的不同表述（如度规、四维标架、帕拉廷及霍尔斯特形式）中仅在应用科斯曼提升将洛伦兹生成元与时空微分同胚联系起来时才保持等价。

ABSTRACT

We review the Lagrangian formulation of Noether symmetries (as well as "generalized Noether symmetries") in the framework of Calculus of Variations in Jet Bundles, with a special attention to so-called "Natural Theories" and "Gauge-Natural Theories", that include all relevant Field Theories and physical applications (from Mechanics to General Relativity, to Gauge Theories, Supersymmetric Theories, Spinors and so on). It is discussed how the use of Poincare'-Cartan forms and decompositions of natural (or gauge-natural) variational operators give rise to notions such as "generators of Noether symmetries", energy and reduced energy flow, Bianchi identities, weak and strong conservation laws, covariant conservation laws, Hamiltonian-like conservation laws (such as, e.g., so-called ADM laws in General Relativity) with emphasis on the physical interpretation of the quantities calculated in specific cases (energy, angular momentum, entropy, etc.). A few substantially new and very recent applications/examples are presented to better show the power of the methods introduced: one in Classical Mechanics (definition of strong conservation laws in a frame-independent setting and a discussion on the way in which conserved quantities depend on the choice of an observer); one in Classical Field Theories (energy and entropy in General Relativity, in its standard formulation, in its spin-frame formulation, in its first order formulation "`a la Palatini" and in its extensions to Non-Linear Gravity Theories); one in Quantum Field Theories (applications to conservation laws in Loop Quantum Gravity via spin connections and Barbero-Immirzi connections).

研究动机与目标

• 利用喷丛上的变分法微分几何，统一处理经典、相对论及量子场论中的诺特对称性与守恒律。
• 阐明不同广义相对论表述（如度规、四维标架、帕拉廷、霍尔斯特）中守恒量（如能量、动量、角动量）的物理诠释。
• 通过引入科斯曼提升，将洛伦兹生成元与时空对称性关联，以解决不同引力场论表述中守恒律的表观不一致问题。
• 将诺特定理的应用扩展至广义对称性及高阶导数或规范自然理论，包括圈量子引力中的自旋连接。
• 证明强守恒律与弱守恒律（包括类似ADM的哈密顿律）可自然地从变分算子与超势的几何结构中导出。

提出的方法

• 采用喷丛与庞加莱-卡坦形式的形式化方法，分析自然与规范自然场论中的对称性与守恒律。
• 应用变分算子的分解，推导诺特对称性的生成元，并将诺特流定义为时空流形上的(m−1)-形式。
• 引入科斯曼提升，将四维标架与仿射表述中的洛伦兹生成元映射至时空微分同胚，确保不同表述间守恒律的一致性。
• 在广义相对论的四维标架-仿射表述中推导出诺特流：Eµ = 4∇ν(eeµ a eν b ˆξab)，证明其在壳时闭合，且在应用科斯曼提升后等价于科马尔超势。
• 分析霍尔斯特的拉格朗日量（LH = LtA + βRab ∧ ea ∧ eb），表明其诺特流与标准广义相对论流之间的差异为一散度项：EH − EtA = ∇ν(∇ρξσǫµνρσ)，当应用科斯曼提升时该差异消失。
• 将该形式化方法应用于量子场论，特别是圈量子引力，通过诺特定理将自旋连接与巴尔贝罗-伊梅尔齐连接与守恒量关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在广义相对论的不同表述（如度规、四维标架、帕拉廷、霍尔斯特形式）中一致地定义诺特对称性与守恒律？
• RQ2 科斯曼提升在调和四维标架表述中由洛伦兹生成元导出的守恒律与标准广义相对论中由时空微分同胚导出的守恒律之间关系中起什么作用？
• RQ3 为何四维标架-仿射与霍尔斯特表述中的诺特流似乎依赖于洛伦兹生成元而非时空向量场？这一现象如何与物理守恒律相协调？
• RQ4 当对称性由不同几何结构定义时，能否在度规与四维标架表述中一致地识别出相同的守恒量（如能量、动量）？
• RQ5 广义诺特对称性与协变守恒律如何通过自旋连接扩展至圈量子引力等量子引力框架？

主要发现

• 广义相对论四维标架-仿射表述中的诺特流为 Eµ = 4∇ν(eeµ a eν b ˆξab)，其在壳时闭合，且在应用科斯曼提升后对应于守恒流。
• 当应用科斯曼提升时，四维标架-仿射表述中的诺特流退化为科马尔超势：Eµ tA = 4∇ν(e∇µξν)，从而恢复与标准广义相对论守恒律的等价性。
• 对于霍尔斯特的拉格朗日量，其诺特流与标准广义相对论流之间的差异为一散度项：EH − EtA = ∇ν(∇ρξσǫµνρσ)，当应用科斯曼提升时该差异消失。
• 仅当通过科斯曼提升将洛伦兹生成元与时空对称性关联时，广义相对论不同表述（度规、四维标架、帕拉廷、霍尔斯特）之间的守恒律才保持等价。
• 该形式化方法可一致地导出广义相对论中能量、动量与角动量的守恒量，且通过科斯曼提升恢复其物理诠释。
• 该方法可扩展至量子场论，表明圈量子引力中的守恒量可由与自旋连接及巴尔贝罗-伊梅尔齐连接相关的诺特对称性导出。