[论文解读] Noether symmetry in $f(R)$ cosmology

Babak Vakili|Apr 22, 2008

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文研究了$f(R)$引力中的诺特定称，以推导出导致宇宙幂律膨胀的特定$f(R)$形式。通过在包含尺度因子$a$和里奇标量$R$作为动力学变量的极小超空间作用量中施加诺特称对称性，作者发现$f(R) \propto R^{(n+1)/(n-1)}$，当$n \leq 5$时导致加速膨胀，有效状态方程参数为$w_{\text{eff}} = -1 + \frac{(n-1)(n+1)}{n(3n-1)}$，该参数位于德西特范围$-1 < w_{\text{eff}} < 0$，为暗能量提供了引力替代方案。

ABSTRACT

The Noether symmetry of a generic $f(R)$ cosmological model is investigated by utilizing the behavior of the corresponding Lagrangian under the infinitesimal generators of the desired symmetry. We explicitly calculate the form of $f(R)$ for which such symmetries exist. It is shown that the resulting form of $f(R)$ yields a power law expansion for the cosmological scale factor. We also obtain the effective equation of state parameter for the corresponding cosmology and show that our model can provide a gravitational alternative to the quintessence.

研究动机与目标

• 确定在平坦FRW宇宙学模型中，$f(R)$引力的何种形式可容许诺特称对称性。
• 从对称性条件推导出相应的宇宙学动力学，特别是尺度因子的演化行为。
• 判断该模型是否能重现加速膨胀，并为暗能量提供引力替代方案。
• 计算有效状态方程参数$w_{\text{eff}}$，并评估其在暗能量类型中的物理解释。

提出的方法

• 构建一个以$a$和$R$为独立动力学变量的极小超空间作用量，其来源于度规形式下的$f(R)$作用量。
• 通过要求关于无穷小生成元$X$的拉格朗日量的李导数为零，施加诺特称对称性条件。
• 求解由此产生的偏微分方程组，以确定保持对称性的$f(R)$的函数形式。
• 利用该对称性找到一个守恒量，从而实现场方程的积分，得到尺度因子$a(t) \propto t^{\alpha}$。
• 从场方程计算有效能量密度和压强，以推导出有效状态方程参数$w_{\text{eff}}$。
• 将$w_{\text{eff}}$转化为时空维度$n$的闭式表达式，以分析其物理范围。

实验结果

研究问题

• RQ1 在平坦FRW$f(R)$宇宙学模型中，以$a$和$R$为动力学变量时，何种形式的$f(R)$可容许诺特称对称性？
• RQ2 诺特称如何导致尺度因子$a(t)$的特定幂律膨胀？
• RQ3 在所推导的$f(R)$模型中，有效状态方程参数$w_{\text{eff}}$为何值？其对暗能量本质意味着什么？
• RQ4 该$f(R)$模型能否在不引入标量场的情况下，为德西特暗能量提供引力替代方案？
• RQ5 在哪些时空维度$n$下，该模型可产生加速膨胀？

主要发现

• 诺特称条件导出特定的$f(R)$形式$f(R) \propto R^{(n+1)/(n-1)}$，此为唯一容许该对称性的函数形式。
• 尺度因子按$a(t) \propto t^{2(n-1)/(3n-1)}$演化，表明为幂律膨胀。
• 当$n \leq 5$时发生加速膨胀，因为条件$\frac{2(3n-1)}{n^2-1} > 1$成立。
• 有效状态方程参数为$w_{\text{eff}} = -1 + \frac{(n-1)(n+1)}{n(3n-1)}$，对所有$n > 1$均落在$-1 < w_{\text{eff}} < 0$范围内，特征为德西特型。
• 该模型为德西特暗能量提供了引力替代方案，因为$w_{\text{eff}}$始终大于$-1$，排除了鬼魅态区域。
• 有效能量密度和压强由场方程推导得出，所得$w_{\text{eff}}$在此对称模型中与时间无关。