[论文解读] Noise-induced canard and mixed-mode oscillations in large stochastic networks with multiple timescales

Jonathan Touboul, Maciej Krupa+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2013

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文展示了在具有多重时标的大规模随机神经网络中，噪声可在平均场极限下引发翘缩爆炸（canard explosions）与混合模式振荡（mixed-mode oscillations）。通过推导平均活动的精确常微分方程，作者表明噪声会定性地改变动力学行为，使原本仅在确定性慢-快系统中出现的复杂振荡模式得以实现，即使在显著噪声水平下亦然。

ABSTRACT

We investigate the dynamics of large stochastic networks with different timescales and nonlinear mean-field interactions. After deriving the limit equations for a general class of network models, we apply our results to the celebrated Wilson-Cowan system with two populations with or without slow adaptation, paradigmatic example of nonlinear mean-field network. This system has the property that the dynamics of the mean of the solution exactly satisfies an ODE. This reduction allows to show that in the mean-field limit and in multiple populations with multiple timescales, noise induces canard explosions and Mixed-Mode Oscillations on the mean of the solution. This sheds new light on the qualitative effects of noise and sensitivity to precise noise values in large stochastic networks. We further investigate finite-sized networks and show that systematic differences with the mean-field limits arise in bistable regimes (where random switches between different attractors occur) or in mixed-mode oscillations, were the finite-size effects induce early jumps due to the sensitivity of the attractor.

研究动机与目标

• 研究噪声如何影响具有多重时标的大型随机神经网络中的集体动力学。
• 为具有随机系数的网络建立严格的平均场极限，拓展经典平均场理论。
• 在平均场框架下分析带噪声的Wilson-Cowan模型，揭示噪声诱导的分岔与复杂振荡。
• 表征双稳态区域与混合模式振荡中的有限尺寸效应，特别是噪声在引发早期跃迁中的作用。
• 证明噪声并非仅是微扰，而是大规模神经系统中定性动力学转变的关键驱动力。

提出的方法

• 推导一类具有多重时标与非线性平均场相互作用的大型随机网络的平均场极限。
• 将该框架应用于包含两组神经元、含慢适应机制的Wilson-Cowan系统，获得平均活动的闭式ODE。
• 表明噪声水平被嵌入平均场ODE的有效非线性项中，使其转化为修正版的Wilson-Cowan系统。
• 运用动力系统理论分析所得ODE，通过分岔分析识别翘缩解与混合模式振荡。
• 采用路径遍历与涨落分析方法，比较平均场预测与有限尺寸网络模拟结果，尤其关注双稳态与振荡区域。
• 将分析扩展至其他模型（如Amari-Hopfield型），通过高斯平均场近似表明其具有类似的噪声依赖动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有多重时标的大型随机神经网络中，噪声是否能诱导翘缩爆炸与混合模式振荡？
• RQ2 当网络规模大且非线性耦合时，噪声如何影响平均场动力学？
• RQ3 噪声在神经质量模型中促成从稳态行为到周期性行为的定性转变中起何作用？
• RQ4 与平均场极限相比，有限尺寸效应如何改变双稳态区域与混合模式振荡的动力学？
• RQ5 在具有多重时标的大型随机系统中，噪声诱导的分岔能否被严格表征？

主要发现

• 即使在非小噪声水平下，噪声也能在大型随机网络的平均场极限中诱导翘缩爆炸与混合模式振荡。
• 网络的平均活动满足一个确定性ODE，该方程是Wilson-Cowan方程的修正版本，其中噪声被嵌入有效非线性项中。
• 从小型Hopf型振荡到松弛振荡的转变通过翘缩环路实现，且转变区域的宽度在时标分离参数下呈指数级缩小。
• 在双稳态区域，有限尺寸效应导致在吸引子之间系统性、规律性的切换，表明噪声诱导了随机动力学中的规律性。
• 平均场极限捕捉到了在无噪声确定性情况下所不存在的复杂振荡模式，证明噪声是动力学的驱动因素而非单纯扰动。
• 该结果可推广至其他模型（如Amari-Hopfield系统），其平均场方程同样表现出噪声依赖的转变与复杂行为。