[论文解读] Noise Induced Dissipation in Discrete Time Dynamical Systems

Albert Fannjiang, Lech Wołowski|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2002

Chaos control and synchronization参考文献 11被引用 1

一句话总结

本文研究了在 d 维环面上受高斯噪声或 α-稳定噪声扰动的离散时间动力系统中的耗散时间尺度。研究发现，非遍历映射的耗散时间为 O(1/ε) 量级，而遍历的环面自同构（如猫映射）的耗散时间为 O(ln(1/ε)) 量级，该常数与维度平均熵相关联，通过丢番图逼近求解底层的算术优化问题。

ABSTRACT

We consider dissipative systems resulting from the Gaussian and alpha-stable noise perturbations of measure-preserving maps on the d dimensional torus. We study the dissipation time scale and its physical implications as the noise level ε vanishes. We show that nonergodic maps give rise to an O(1/ε) dissipation time whereas ergodic toral automorphisms, including cat maps and their d-dimensional generalizations, have an O(ln (1/ε)) dissipation time with a constant related to the dimensionally averaged entropy of the automorphisms. Our approach reduces the calculation of the dissipation time to a nonlinear, arithmetic optimization problem which is solved asymptotically by means of some fundamental theorems in Diophantine approximations. 1

研究动机与目标

• 理解噪声扰动如何影响在 d 维环面上的保测度映射中的耗散时间尺度。
• 在高斯噪声与 α-稳定噪声下，区分非遍历映射与遍历环面自同构的耗散行为。
• 推导当噪声水平 ε 趋近于零时耗散时间的渐近表达式。
• 将耗散时间的计算归约为一个根植于丢番图逼近的非线性算术优化问题。
• 建立耗散时间与遍历自同构的维度平均熵之间的联系。

提出的方法

• 将系统建模为受高斯噪声或 α-稳定噪声扰动的 d 维环面上的保测度映射。
• 将耗散时间定义为在噪声作用下系统失去初始条件记忆的期望时间。
• 将问题归约为涉及轨道丢番图逼近的非线性算术优化任务。
• 应用丢番图逼近理论中的基本定理，渐近求解该优化问题。
• 利用基于熵的不变量，表征遍历自同构的耗散时间。
• 推导耗散时间关于噪声水平 ε 的渐近标度律。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非遍历映射受噪声扰动时，耗散时间如何随噪声水平 ε 变化？
• RQ2 在噪声作用下，如猫映射等遍历环面自同构的渐近耗散时间标度为何？
• RQ3 在遍历情况下，耗散时间与自同构的维度平均熵有何关联？
• RQ4 丢番图逼近性质在确定耗散时间中起什么作用？
• RQ5 耗散时间的计算能否归约为一个可解的算术优化问题？

主要发现

• 当噪声水平 ε 趋近于零时，非遍历映射的耗散时间为 O(1/ε) 量级。
• 遍历环面自同构（包括猫映射及其 d 维推广）的耗散时间为 O(ln(1/ε)) 量级。
• O(ln(1/ε)) 标度中的常数明确与自同构的维度平均熵相关。
• 耗散时间的计算被归约为一个涉及丢番图逼近的非线性算术优化问题。
• 利用丢番图逼近理论中的深刻定理，推导出该优化问题的渐近解。
• 结果揭示了在噪声作用下，非遍历系统与遍历系统在耗散行为上的根本差异。