[论文解读] Noise-induced phase slips, log-periodic oscillations, and the Gumbel distribution

Nils Berglund|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2014

stochastic dynamics and bifurcation参考文献 49被引用 8

一句话总结

本文分析了弱耦合相振子中由噪声引起的相位跳变，表明在小噪声极限下，归一化的相位跳变位置收敛于几何分布与Gumbel分布随机变量之和，而持续时间则收敛于Gumbel分布。研究结果将随机首次通过问题与极值理论联系起来，并通过靠近不稳定周期轨道的循环行为解释了对数周期振荡现象。

ABSTRACT

When two synchronised phase oscillators are perturbed by weak noise, they display occasional losses of synchrony, called phase slips. The slips can be characterised by their location in phase space and their duration. We show that when properly normalised, their location converges, in the vanishing noise limit, to the sum of an asymptotically geometric random variable and a Gumbel random variable. The duration also converges to a Gumbel variable with different parameters. We relate these results to recent works on the phenomenon of log-periodic oscillations and on links between transition path theory and extreme-value theory.

研究动机与目标

• 理解在小噪声扰动下弱耦合相振子中相位跳变的统计分布。
• 在噪声趋于零的极限下，建立相位跳变位置与持续时间的极限分布。
• 将随机首次通过行为与极值理论（尤其是Gumbel分布）联系起来。
• 通过靠近不稳定周期轨道的循环行为，解释耦合振子首次通过统计中对数周期振荡的成因。
• 统一过渡路径理论与一维首次通过问题中的大偏差理论结果。

提出的方法

• 将相位跳变问题表述为从稳定周期轨道邻域中随机首次通过的问题。
• 利用大偏差理论与随机Poincaré映射分析首次通过位置与时间。
• 应用过渡路径理论结果，表征相位跳变持续时间的分布。
• 将先前关于不稳定平面周期轨道的首次通过分布结果重新表述，以推导极限定律。
• 依赖小噪声极限下的渐近分析，推导出收敛于几何分布与Gumbel分布的结果。
• 将Gumbel分布的出现与极值理论及首次通过过程中罕见事件的统计联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在小噪声极限下，相位跳变位置的极限分布是什么？
• RQ2 当噪声趋于零时，相位跳变的持续时间如何渐近行为？
• RQ3 耦合振子首次通过统计中对数周期振荡的成因是什么？
• RQ4 Gumbel分布与极值理论在此类随机首次通过问题中如何关联？
• RQ5 在不稳定周期轨道附近循环动力学如何影响首次通过分布？

主要发现

• 在小噪声极限下，归一化的相位跳变位置依分布收敛于一个渐近几何分布与一个Gumbel分布随机变量之和。
• 相位跳变持续时间依分布收敛于一个参数不同于位置分布的Gumbel随机变量。
• 首次通过统计中的对数周期振荡源于首次通过分布在不稳定周期轨道上的循环行为。
• 在单变量随机系统中，Gumbel分布自然地出现在极值理论应用于首次通过时间与路径的背景下。
• 研究结果推广并统一了先前关于弱噪声下具有不稳定周期轨道的随机系统首次通过分布的研究发现。
• 通过相位跳变问题中的显式收敛结果，验证了过渡路径理论与极值理论之间的联系。