[论文解读] Noisy threshold in neuronal models: connections with the noisy leaky integrate-and-fire model

Grégory Dumont, Jacques Henry+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2015

Neural dynamics and brain function参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文建立了一种显式的积分变换，将受吸收边界条件的 Fokker-Planck (FP) 方程所描述的噪声漏斗积分-放电（NLIF）模型，与具有时变阈值噪声的年龄结构（AS）逃逸率模型联系起来。该变换将描述自上次放电以来时间的折射状态的 AS 系统解映射为 FP 方程的解，揭示了基于生存函数和贝叶斯规则的数学等价性，变换的核代表了给定年龄下膜电位的条件概率。

ABSTRACT

Providing an analytical treatment to the stochastic feature of neurons' dynamics is one of the current biggest challenges in mathematical biology. The noisy leaky integrate-and-fire model and its associated Fokker-Planck equation are probably the most popular way to deal with neural variability. Another well-known formalism is the escape-rate model: a model giving the probability that a neuron fires at a certain time knowing the time elapsed since its last action potential. This model leads to a so-called age-structured system, a partial differential equation with non-local boundary condition famous in the field of population dynamics, where the {\it age} of a neuron is the amount of time passed by since its previous spike. In this theoretical paper, we investigate the mathematical connection between the two formalisms. We shall derive an integral transform of the solution to the age-structured model into the solution of the Fokker-Planck equation. This integral transform highlights the link between the two stochastic processes. As far as we know, an explicit mathematical correspondence between the two solutions has not been introduced until now.

研究动机与目标

• 建立两个广泛使用的神经随机性建模形式之间的严格数学联系：噪声漏斗积分-放电（NLIF）模型与年龄结构（AS）逃逸率模型。
• 解决长期存在的问题，即显式关联 NLIF 模型的 Fokker-Planck（FP）方程解与 AS 系统的解，后者通过自上次放电以来的时间描述折射状态。
• 通过贝叶斯规则提供变换的概率论解释，表明核对应于 P(v|a)，即给定年龄 a 时膜电位 v 的概率。
• 探讨逆变换的可行性，指出需要时变核以及初始密度之间的兼容性条件，且在平衡假设下可实现近似逆变换。

提出的方法

• 推导一种积分变换，将描述年龄 a 的折射密度的年龄结构（AS）偏微分方程的解映射为 NLIF 模型的 Fokker-Planck（FP）方程的解。
• 使用更新理论中的生存函数 g(t) 作为变换核的关键组成部分，将生存概率与阈值穿越时间联系起来。
• 应用贝叶斯规则，将变换核 P(v|a) 解释为给定神经元年龄 a 时膜电位 v 的条件概率，其中时间不变的动力学被编码在年龄变量中。
• 在平衡假设下构建候选逆变换，利用稳态分布 p∞(v) 和 n∞(a) 定义 P(a|v) 的时间无关版本。
• 通过 Euler-Maruyama 和类似 Gillespie 的模拟数值验证等价性，显示在相同参数下两种模型的放电时间分布完全一致。
• 证明通过变换生成的解集在 t → ∞ 时形成吸引子集，表明两种模型在长期中具有一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在噪声漏斗积分-放电模型的 Fokker-Planck 方程解与逃逸率模型中年龄结构系统的解之间建立显式的数学对应关系？
• RQ2 连接两个模型的积分变换的概率解释是什么？它与条件概率和生存函数有何关系？
• RQ3 是否可以构建从 FP 解到 AS 解的逆变换？此类逆变换需要哪些约束或假设？
• RQ4 FP 系统与 AS 系统的初始条件之间有何关系？它们必须满足何种兼容性条件才能使变换保持一致？
• RQ5 平衡分布在此类近似逆变换中的作用是什么？它与最大熵假设的关系如何？

主要发现

• 年龄结构（AS）系统的解可通过显式积分变换映射到噪声漏斗积分-放电（NLIF）模型的 Fokker-Planck（FP）方程解，其核为条件概率 P(v|a)，表示给定年龄 a 时膜电位 v 的可能性。
• 该变换基于更新理论和生存函数，由于年龄变量编码了所有必要的时序信息，核为时间不变。
• 证明了 FP 解是变换后 AS 解的吸引子，当时间 t 趋近于无穷时，表明两种模型在长期中具有动力学一致性。
• 在平衡假设下构建了近似逆变换，利用稳态分布 p∞(v) 和 n∞(a)，实现了长期极限下的双向映射。
• 数值模拟证实，当参数匹配时，两种模型产生的放电时间分布完全相同，验证了理论上的等价性。
• 研究表明，AS 模型通过年龄变量隐含编码了上次放电时间的信息，而该信息在 FP 模型中未显式体现，因此全逆变换需要满足兼容性条件。