[论文解读] Nombre de classes des tores de multiplication complexe et bornes inferieures pour orbites Galoisiennes de points speciaux

Emmanuel Ullmo, Andrei Yafaev|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文通过代数环面的类数估计与互惠映射的像，建立了希伽罗瓦轨道在希米乌拉簇中特殊点的显式下界。在广义黎曼猜想（GRH）下，对CM阿贝尔簇中特殊点的希伽罗瓦轨道大小提供了强有力的无条件下的下界，尤其适用于维数g ≤ 3或伽罗瓦通用点的情形，利用拟判别式与艾廷L函数估计来控制互惠映射的余核。

ABSTRACT

We establish a Brauer-Siegel type formula for class numbers of CM tori. We deduce lower bounds for Galois orbits of certain Shimura varieties.

研究动机与目标

• 推导希米乌拉簇中特殊点希伽罗瓦轨道大小的有效下界，这是安德烈-奥尔特猜想的关键要素。
• 改进先前的下界，这些下界对乔纳森·皮拉基于o-极小性的安德烈-奥尔特猜想方法而言不足。
• 分析与CM点相关的环面类群之间互惠映射的像，重点关注余核以控制轨道大小。
• 建立互惠映射核连通的条件，从而在有利情况下实现无条件的下界。
• 利用拟判别式与艾廷L函数的留数，提供可计算的、显式的希伽罗瓦轨道大小下界。

提出的方法

• 使用Q上代数环面的广义类数公式，将类数h_T与艾廷L函数留数ρ_T及拟判别式D_T联系起来。
• 将拟判别式D_T定义为环面T的阿代尔点上哈尓测度的比值，并以艾廷导子a(T)和尼伦模型的连通分支群的阶表示其闭式表达。
• 利用切博泰列夫密度定理与GRH，对CM域中分裂素数的数量应用有效下界，以估计互惠映射像的大小。
• 建立特殊点希伽罗瓦轨道大小与类群上诱导映射h_{R_E} → h_T的像的基数之间的联系。
• 利用尼伦模型及其分支群的结构分析互惠映射的核，证明在关键情形（如g ≤ 3或伽罗瓦通用点）下其连通性。
• 应用环面的布劳尔-西格尔型定理，将类数h_T与拟判别式D_T及艾廷L函数留数ρ_T联系起来，在GRH下获得有效下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 希米乌拉簇中特殊点的希伽罗瓦轨道大小的最优下界是什么，尤其针对维数g ≤ 3的CM阿贝尔簇？
• RQ2 在何种条件下，环面之间互惠映射的核是连通的，从而能实现希伽罗瓦轨道大小的无条件下的下界？
• RQ3 如何有效有界互惠映射在类群上的余核，尤其当核不连通时？
• RQ4 环面T的拟判别式D_T与艾廷L函数留数ρ_T之间有何关系，这一关系如何用于有界类数？
• RQ5 能否实现希伽罗瓦轨道大小的无条件有效下界，还是这些下界依赖于GRH？

主要发现

• 在GRH下，本文建立了希米乌拉簇中特殊点x的希伽罗瓦轨道大小的下界，该下界依赖于反射域L的判别式D_L与艾廷L函数留数ρ_T。
• 对于互惠映射核连通的环面T（例如当g ≤ 3或x为伽罗瓦通用点时），该轨道大小的下界为无条件的，形式为c_1 * D_L^{c_2}，其中c_1, c_2 > 0为显式常数。
• 拟判别式D_T以闭式表达为涉及艾廷导子a(T)与尼伦模型分支群阶的比值。
• 本文证明，在GRH下，CM域L中完全分裂的素数个数满足π_L(x) ≥ c_2 * x / log(x)，其中x ≥ c_1 * log(D_L)^2 * (log log D_L)^4。
• 在GRH下，利用有效的切博泰列夫估计，对类群上互惠映射的余核进行有界，从而得到对像大小的下界，进而控制希伽罗瓦轨道大小。
• 结果在定性意义上是最优的，且预计足以应用于皮拉基于o-极小性的安德烈-奥尔特猜想方法。