[论文解读] Non Abelian Berry Phase in Noncommutative Quantum Mechanics

Alain Bérard, Hervé Mohrbach|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 4

一句话总结

本文通过分析狄拉克方程的绝热演化，推导出非交换量子力学中的非阿贝尔贝里几何，揭示了由于非阿贝尔规范联络的存在，位置算符获得了异常贡献，从而导致坐标非对易性。这种非对易性诱导出类似于自旋霍尔效应和科里奥利效应的拓扑自旋输运，预测了非相对论性粒子在电场中以及光子在引力场中的新动力学行为。

ABSTRACT

We consider the adiabatic evolution of the Dirac equation in order to compute its Berry curvature in momentum space. It is found that the position operator acquires an anomalous contribution due to the non Abelian Berry gauge connection rendering the quantum mechanic algebra noncommutative. A generalization to any known spinning particles is possible by using the Bargmann-Wigner equation of motions. The noncommutativity of the coordinates is responsible of the topological spin transport of spinning particle similarly to the spin Hall effect in spintronic physics or the Magnus effect in optics. As an application we predict new dynamics for nonrelativistic particles in an electric field and for photons in a gravitational field.

研究动机与目标

• 研究非阿贝尔贝里几何在非交换量子力学中的作用。
• 确定狄拉克方程的绝热演化如何导致位置算符的异常贡献。
• 通过巴格曼-维格纳方程将结果推广至自旋粒子。
• 探讨坐标非对易性在拓扑自旋输运中的物理后果。
• 预测非相对论性粒子在电场中以及光子在引力场中的新动力学行为。

提出的方法

• 在动量空间中分析狄拉克方程的绝热演化，以计算贝里曲率。
• 推导由于非阿贝尔贝里规范联络导致的位置算符的异常贡献。
• 通过巴格曼-维格纳运动方程将形式化推广至任意自旋粒子。
• 建立坐标非对易性与拓扑自旋输运机制之间的联系。
• 将该框架应用于预测外场（如电场和引力场）中的新动力学行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 非阿贝尔贝里规范联络如何改变动量空间中的量子力学代数？
• RQ2 在此框架中，位置算符的异常贡献的起源是什么？
• RQ3 坐标非对易性如何导致自旋粒子中的拓扑自旋输运？
• RQ4 这些预测在非相对论性粒子处于电场中的情况下如何推广？
• RQ5 在非阿贝尔非交换结构下，光子在引力场中会涌现出何种新动力学？

主要发现

• 非阿贝尔贝里规范联络通过位置算符的异常贡献，在量子力学代数中诱导出非对易结构。
• 坐标非对易性自然地源于狄拉克方程在动量空间中的绝热演化。
• 由此产生的非对易性直接导致了拓扑自旋输运，其机制类似于自旋霍尔效应和科里奥利效应。
• 该形式化可通过巴格曼-维格纳运动方程推广至任意自旋粒子。
• 由于这种非阿贝尔非交换结构，预测了非相对论性粒子在电场中以及光子在引力场中的新动力学行为。