[论文解读] Non-Abelian Class Field Theory for Riemann Surfaces

Lin Weng|ArXiv.org|Nov 22, 2001

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过基于微互反原理的互反律，完成了魏尔在黎曼曲面上的非交换类域论纲领。它建立了黎曼曲面上带除子的GA丛的有限完备化Tannakian子范畴与在该除子上分支至多为有限的伽罗瓦覆盖之间的双射对应，证明了纤维函子的自同构群与对应覆盖的伽罗瓦群之间的同构关系。

ABSTRACT

In this paper, using what we call a micro reciprocity law, we complete Weil's program for non-abelian class field theory of Riemann surfaces.

研究动机与目标

• 完成在紧黎曼曲面上的魏尔非交换类域论纲领。
• 建立一个将抛物丛的Tannakian范畴与伽罗瓦覆盖联系起来的互反律。
• 证明关于在给定除子上分支至多为有限的有限伽罗瓦覆盖的存在性与导子定理。
• 证明在有限完备化Tannakian子范畴上，纤维函子的自同构群同构于对应覆盖的伽罗瓦群。

提出的方法

• 将GA丛定义为具有满足除子上数论条件的有理权重、且抛物度数为零的抛物半稳定丛。
• 从Seshadri等价类的GA丛出发，构造一个唯一的因子分解Tannakian范畴M(M;D)，并配备一个到复向量空间的纤维函子ω_D。
• 利用GA丛的Jordan-Hölder分次丛，将其与π₁(M⁰)的单位表示联系起来，从而导出一个互反映射W(D): π₁(M⁰)/J(D) → Aut^⊗(ω_D)。
• 引入群G(D) := π₁(M⁰)/J(D)，其中J(D)是由S_i^{e_i}生成的正规子群，并利用G(D)的单位表示来建模伽罗瓦覆盖。
• 应用Tannaka对偶性，证明M(M;D)的有限完备化Tannakian子范畴S与G(D)的有限指数正规子群K一一对应，从而与伽罗瓦覆盖一一对应。
• 利用van Kampen完备性定理，证明由有限个表示生成的Tannakian子范畴即为商群的全部单位表示范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过Tannakian范畴与抛物丛建立黎曼曲面上的非交换类域论？
• RQ2 在给定除子上分支至多为有限的GA丛的有限完备化Tannakian子范畴与有限伽罗瓦覆盖之间是否存在一一对应？
• RQ3 此类子范畴上纤维函子的自同构群是否同构于对应覆盖的伽罗瓦群？
• RQ4 微互反律如何将穿孔曲面的基本群与覆盖的伽罗瓦群联系起来？

主要发现

• 存在一个自然的一一对应w_D，将M(M;D)的有限完备化Tannakian子范畴与在M上在D上分支至多为有限的有限伽罗瓦覆盖一一对应。
• 在子范畴S上限制的纤维函子的自同构群同构于w_D(S)所对应的覆盖的伽罗瓦群。
• 当限制于覆盖的伽罗瓦群时，互反映射W(D): π₁(M⁰)/J(D) → Aut^⊗(ω_D)是同构。
• 范畴M(M;D)是一个唯一的因子分解Tannakian范畴，对张量积封闭，且具有忠实的纤维函子ω_D。
• GA丛的Seshadri等价类通过Weil-Narasimhan-Seshadri对应，与G(D) = π₁(M⁰)/J(D)的单位表示之间存在双射。
• Tannaka对偶性重构过程可从Tannakian子范畴恢复伽罗瓦群，从而确认了几何对象与伽罗瓦群之间的对偶性。