[论文解读] Non Abelian differential gerbes

Camille Laurent-Gengoux, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 4

一句话总结

本文利用李群胚构建了堆上的非交换微分2-丛理论，引入了G-2-丛上的联络并证明了Bianchi恒等式的类比。该文建立了一套上同调理论，用于度量G-2-丛上联络与曲率的存在性，将S¹-中心扩张推广至G-中心扩张，并将该框架应用于流形上的微分几何。

ABSTRACT

We study non-abelian differential gerbes over stacks using the theory of Lie groupoids. More precisely, we develop the theory of connections on Lie groupoid $G$-extensions, which we call ``connections on gerbes'', and study the induced connections on various associated bundles. We also prove analogues of the Bianchi identities. In particular, we develop a cohomology theory which measures the existence of connections and curvings for $G$-gerbes over stacks. We also introduce $G$-central extensions of groupoids, generalizing the standard groupoid $S^1$-central extensions. As an example, we apply our theory to study the differential geometry of $G$-gerbes over a manifold.

研究动机与目标

• 将微分2-丛理论扩展至非交换情形，借助李群胚实现。
• 定义并研究G-2-丛上的联络及其在相关丛上诱导的联络。
• 发展一套上同调理论，用于度量堆上G-2-丛的联络与曲率的存在性。
• 将群胚的S¹-中心扩张推广至任意结构群G的G-中心扩张。
• 将该框架应用于光滑流形上G-2-丛的微分几何。

提出的方法

• 利用李群胚来刻画堆，并将G-2-丛定义为G-群胚扩张。
• 将G-2-丛上的联络定义为群胚扩张全空间上相容的联络。
• 应用主丛上联络的理论，推导相关丛上的诱导联络。
• 在非交换情形下证明曲率形式的Bianchi恒等式类比。
• 利用Čech-Deligne上同调构造上同调理论，用于对G-2-丛上的联络与曲率进行分类。
• 引入群胚的G-中心扩张作为S¹-中心扩张的推广，从而实现非交换2-丛的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用李群胚在堆上定义并研究非交换微分2-丛上的联络？
• RQ2 哪些上同调不变量可度量G-2-丛上联络与曲率的存在性？
• RQ3 G-2-丛上的联络如何在相关丛上诱导联络？
• RQ4 在此背景下，Bianchi恒等式的非交换类比是什么？
• RQ5 S¹-中心扩张如何推广至任意结构群G的G-中心扩张？

主要发现

• 本文构建了一套上同调理论，用于对堆上G-2-丛的联络与曲率进行分类，提供了其存在的障碍。
• 证明了Bianchi恒等式的非交换类比，揭示了G-2-丛情形下曲率形式的一致性条件。
• 该理论表明，G-2-丛上的联络可通过群胚扩张结构在相关丛上诱导出相容的联络。
• 引入了群胚的G-中心扩张作为S¹-中心扩张的推广，从而实现了非交换2-丛的构造。
• 该框架被应用于流形上G-2-丛的微分几何，展示了其几何相关性。
• 所发展的上同调工具提供了一套系统化的方法，用于分析与分类带有联络的非交换微分2-丛。