[论文解读] Non-abelian extensions of infinite-dimensional Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文为基于局部凸空间的无限维李群的非交换扩张构建了一个上同调框架。结果表明，对应于 $ G $ 对 $ N $ 的光滑外作用 $ S $ 的扩张构成一个在第二类光滑上同调群 $ H^{2}_{ss}(G,Z(N))_S $ 上的主齐性空间，且一个消失的障碍类 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ 决定此类扩张的存在性。

ABSTRACT

In this paper we study non-abelian extensions of a Lie group $G$ modeled on a locally convex space by a Lie group $N$. The equivalence classes of such extension are grouped into those corresponding to a class of so-called smooth outer actions $S$ of $G$ on $N$. If $S$ is given, we show that the corresponding set $\Ext(G,N)_S$ of extension classes is a principal homogeneous space of the locally smooth cohomology group $H^2_{ss}(G,Z(N))_S$. To each $S$ a locally smooth obstruction class $χ(S)$ in a suitably defined cohomology group $H^3_{ss}(G,Z(N))_S$ is defined. It vanishes if and only if there is a corresponding extension of $G$ by $N$. A central point is that we reduce many problems concerning extensions by non-abelian groups to questions on extensions by abelian groups, which have been dealt with in previous work. An important tool is a Lie theoretic concept of a smooth crossed module $α: H o G$, which we view as a central extension of a normal subgroup of $G$.

研究动机与目标

• 对基于局部凸空间的李群的非交换扩张进行分类。
• 将上同调方法从阿贝尔与中心扩张推广至非交换情形。
• 定义光滑外作用及其关联的上同调群，以对扩张类进行分类。
• 建立扩张存在的障碍类条件为零。
• 将扩张与光滑交叉模联系起来，通过上同调将非交换问题约化为阿贝尔问题。

提出的方法

• 引入满足在 $ G $ 的单位元邻域上光滑性条件的光滑外作用 $ S: G \to \mathrm{Aut}(N) $。
• 定义一个 2-链 $ \omega: G \times G \to N $，用于编码半直积 $ N \times G $ 中的群乘法，满足扭曲的上循环条件。
• 通过公式 $ (n,g)(n',g') = (n S(g)(n') \omega(g,g'), gg') $ 构造 $ N \times G $ 上的群结构，确保其光滑性与李群结构。
• 通过在单位元邻域上满足光滑性条件的取值于 $ Z(N) $ 的链，定义光滑群上同调 $ H^{k}_{ss}(G,Z(N))_S $。
• 引入一个特征障碍类 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $，其当且仅当存在对应于 $ S $ 的扩张时为零。
• 引入光滑交叉模 $ \alpha: H \to G $ 的概念，以建模中心扩张，并通过作用与上链将之与群扩张联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，光滑外作用 $ S: G \to \mathrm{Aut}(N) $ 能提升为李群扩张 $ N \to \widehat{G} \to G $？
• RQ2 此类扩张的等价类集合如何参数化？
• RQ3 第三类上同调群 $ H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $ 在决定扩张存在性方面起什么作用？
• RQ4 如何通过上同调技术将非交换扩张约化为阿贝尔扩张？
• RQ5 对 $ S $ 和 $ \omega $ 的何种光滑性条件可确保 $ N \times G $ 装备有李群结构？

主要发现

• 对应于光滑外作用 $ S $ 的扩张集合 $ \mathrm{Ext}(G,N)_S $ 是 $ H^{2}_{ss}(G,Z(N))_S $ 上的主齐性空间，意味着扩张按等价类被该上同调群分类。
• 存在一个障碍类 $ \chi(S) \in H^{3}_{ss}(G,Z(N))_S $，其当且仅当存在对应于 $ S $ 的扩张时为零。
• 作用 $ S $ 与 2-链 $ \omega $ 的光滑性仅需在 $ G $ 的单位元邻域内成立，从而允许通过局部性质整体提升为李群结构。
• 中心 $ Z(N) $ 不必是李群；上同调通过 $ N $-值函数的光滑性条件定义，而非直接依赖于 $ Z(N) $ 本身。
• 光滑交叉模 $ \alpha: H \to G $ 提供了一个框架，用于建模中心扩张，并将其与群作用及上链联系起来。
• 对于连通的 $ G $，$ H $ 在 $ \widehat{G} $ 上的作用的光滑性等价于局部光滑性与轨道映射的光滑性，而后者可约化为相关上链映射的光滑性。