[论文解读] Non-Abelian Stokes theorem and quantized Berry flux

Alexander C. Tyner, Shouvik Sur+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种规范不变的方法，用于计算具有 $\pi$-旋转、$\pi$-时间反演 ($\mathcal{PT}$) 或 $SU(2)$ 对称性的系统中两重简并能带的量化非阿贝尔贝里通量——具体而言是自旋-陈数——通过将非阿贝尔斯托克斯定理应用于威尔逊环路。该方法可在无需详细对称性信息或能带基底知识的情况下，实现对一阶及高阶拓扑绝缘体和半金属的拓扑分类，关键结果表明在模型系统和第一原理系统中均观测到 $2\pi$ 和 $4\pi$ 量化通量。

ABSTRACT

Band topology of anomalous quantum Hall insulators can be precisely addressed by computing Chern numbers of constituent non-degenerate bands that describe quantized, Abelian Berry flux through two-dimensional Brillouin zone. Can Chern numbers be defined for $SU(2)$ Berry connection of two-fold degenerate bands of materials preserving space-inversion ($\mathcal{P}$) and time-reversal ($\mathcal{T}$) symmetries or combined $\mathcal{PT}$ symmetry, without detailed knowledge of underlying basis? We affirmatively answer this question by employing a non-Abelian generalization of Stokes' theorem and describe a manifestly gauge-invariant method for computing magnitudes of quantized $SU(2)$ Berry flux (spin-Chern number) from eigenvalues of Wilson loops. The power of this method is elucidated by performing $\mathbb{N}$-classification of \emph{ab initio} band structures of three-dimensional, Dirac materials. Our work outlines a unified framework for addressing first-order and higher-order topology of insulators and semimetals, without relying on detailed symmetry data.

研究动机与目标

• 解决在具有 $\mathcal{PT}$ 对称性但无额外全局对称性的系统中，对两重简并能带的 $SU(2)$ 贝里连接定义规范不变拓扑不变量的挑战。
• 开发一种无需依赖显式基底选择或全局对称性（如镜像对称或自旋旋转不变性）来计算量化非阿贝尔贝里通量（自旋-陈数）的方法。
• 利用第一原理能带结构，实现对三维狄拉克材料中一阶及高阶拓扑绝缘体和半金属的拓扑分类。
• 证明该威尔逊环路方法即使在传统不变量（如 $Z_2$）失效时，仍能可靠区分平凡、一阶和高阶拓扑相。

提出的方法

• 该方法采用斯托克斯定理的非阿贝尔推广，将威尔逊环路的全息性与 $SU(2)$ 连接中的非阿贝尔贝里通量大小关联起来。
• 在动量空间中沿闭合、不相交的路径计算威尔逊环路，对 $SU(2)$ 贝里连接 $A_{j,n,s,s'}(\mathbf{k}) = -i \psi_{n,s}^\dagger(\mathbf{k}) \partial_j \psi_{n,s'}(\mathbf{k})$ 应用路径排序。
• 全息性表示为 $W_n = \exp[i \theta_n(k_0) \hat{\Omega}_n(k_0) \cdot \boldsymbol{\sigma}]$，其中 $\theta_n(k_0)$ 是编码通量大小的规范不变角度。
• 通过威尔逊环路矩阵的本征值提取非阿贝尔通量的大小，量化表现为不同拓扑相中 $|2\pi|$ 或 $|4\pi|$ 的结果。
• 该方法应用于紧束缚模型和 Na$_3$Bi 与 $\beta$-CuI 等材料的第一原理能带结构，通过杂化 Wannier 中心和泡利克环路谱进行验证。
• 该方法在基底变换下具有鲁棒性，且无需识别全局自旋 quantization 轴或镜像对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有 $\mathcal{PT}$ 对称性但无额外全局对称性的系统中，为两重简并能带定义规范不变的量化非阿贝尔贝里通量？
• RQ2 该威尔逊环路方法是否能提供一种可靠方式，在无需事先了解能带基底或全局对称性的情况下计算自旋-陈数？
• RQ3 该方法能否在三维狄拉克材料中区分平凡、一阶和高阶拓扑绝缘体？
• RQ4 非阿贝尔斯托克斯定理是否适用于第一原理能带结构？其结果是否与拓扑分类一致的量化通量值相符？

主要发现

• 该威尔逊环路方法在模型系统中成功计算出大小为 $2\pi$ 和 $4\pi$ 的量化非阿贝尔贝里通量，证实了拓扑量化。
• 在 Na$_3$Bi 中，$k_z=0$ 镜像平面表现出非平凡的自旋-陈数 $2\pi$，由无能隙的 Wannier 谱和杂化 Wannier 中心的伙伴交换关系验证。
• 对于具有 $C_6$ 和 $C_3$ 对称性的模型，当 $\Delta=2$ 时，该方法识别出 $2\pi$ 通量；而当 $\Delta=4$ 时，未观察到 $4\pi$ 通量，表现为平凡行为。
• 在 Na$_3$Bi 中，高阶拓扑绝缘体相与平凡相的区分仅依赖于威尔逊环路谱与泡利克环路本征值的联合分析，而非仅依赖于第一同伦分类。
• 对 $\beta$-CuI 的第一原理计算证实了狄拉克点处存在表面局域态，其谱权重与拓扑边缘态一致，并验证了该方法在真实材料中的有效性。
• 该方法揭示，Na$_3$Bi 的 $k_z=0$ 平面为具有 $Z_2$ 不变量的一阶拓扑绝缘体，而 $|k_z|<k_D$ 和 $k_z=\pi/c$ 的平面分别为高阶或平凡相，该结论通过谱分析得到证实。