[论文解读] Non-Additive Prolegomena (to any future Arithmetic that will be able to present itself as a Geometry)

Shai Haran|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于环范畴和${\mathbb{F}}_1$-几何的非加法几何框架，用于解决数论中的基础性问题，如实素数、算术平面以及绝对点。该框架引入了一个完备的上同调序列，并猜想在除子上存在一种交点配对，将函数的梅林变换与黎曼ζ函数的非平凡零点联系起来，可能通过几何的黎曼-罗赫定理暗示黎曼猜想。

ABSTRACT

We give a language for geometry which makes curves and number fields look alike.

研究动机与目标

• 通过基于环范畴和${\mathbb{F}}_1$-几何的非加法、乘法框架，取代加法结构，以解决算术与几何之间的基础性不匹配问题。
• 解决三个核心问题：实素数$\eta$，算术平面$\mathbb{Z} \otimes \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$的坍缩，以及缺失的绝对点$\operatorname{Spec}({\mathbb{F}}_1)$。
• 为$\overline{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}}$构造一个完备的上同调序列，通过除子群$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$将有限素数和阿基米德素数统一纳入其中。
• 猜想在除子上存在一种交点配对，通过$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$中函数的梅林变换编码黎曼ζ函数的非平凡零点。

提出的方法

• 将环范畴定义为具有两个对称张量结构（$\oplus$, $\otimes$）的范畴，其中$\otimes$对$\oplus$满足分配律，且${\mathbb{F}}_1$为初始对象。
• 构造除子群$\operatorname{Div}(\mathcal{X}) \cong \bigoplus_p \mathbb{Z}[p] \oplus \log(\mathbb{R}^+) \cdot [\eta]$，以统一有限素数与阿基米德素数。
• 引入一个完备的上同调序列：$\{\pm 1\} \to \mathbb{Q}^* \xrightarrow{\operatorname{div}} \operatorname{Div}(\mathcal{X}) \to \mathbb{R}^+ \to \{*\}$
• 定义$\mathbb{R}^+$上具有可控衰减性的紧支集、分段光滑函数空间$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$，并引入弗罗利赫映射$Fr: \mathcal{W}(\mathbb{R}^+) \to \operatorname{Div}(\mathcal{X})$。
• 通过梅林变换提出一种交点配对：$(Fr(f_1), Fr(f_2)) = \hat{f}_1(0)\hat{f}_2(1) + \hat{f}_1(1)\hat{f}_2(0) - \sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}_1(\alpha) \hat{f}_2(1-\alpha)$。
• 猜想$Fr$为$\mathbb{Z}$-线性，并保持卷积与对偶性：$Fr(f_1 * f_2) = Fr(f_1) * Fr(f_2)$与$Fr(f^\natural) = Fr(f)^\natural$，其中$f^\natural(x) = x^{-1}f(x^{-1})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于环范畴和${\mathbb{F}}_1$-几何的非加法几何框架是否能解决算术与几何之间的基础性不匹配问题？
• RQ2 对$\overline{\operatorname{Spec} \mathbb{Z}}$的完备上同调序列是否能通过除子群$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$正确编码有限素数与阿基米德素数？
• RQ3 能否通过$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$中函数的梅林变换构造$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$上的交点配对，以检测黎曼ζ函数的非平凡零点？
• RQ4 $\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$到$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$的弗罗利赫映射$Fr$是否与卷积和对偶性相容，且是否保持除子乘法的代数结构？
• RQ5 若函数空间$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$中存在一个函数$f$，使得其局部化黎曼ξ函数的非平凡零点，则是否可通过Castelnuovo-Severi不等式与$\mathcal{X}$上的黎曼-罗赫定理推出黎曼猜想？

主要发现

• 除子群$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$同构于$\bigoplus_p \mathbb{Z}[p] \oplus \log(\mathbb{R}^+) \cdot [\eta]$，将有限素数与阿基米德素数统一于单一几何对象之中。
• 完备的上同调序列$\{\pm 1\} \to \mathbb{Q}^* \xrightarrow{\operatorname{div}} \operatorname{Div}(\mathcal{X}) \to \mathbb{R}^+ \to \{*\}$成立。
• 猜想$\operatorname{Div}(\mathcal{X})$上的交点配对由$(Fr(f_1), Fr(f_2)) = \hat{f}_1(0)\hat{f}_2(1) + \hat{f}_1(1)\hat{f}_2(0) - \sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}_1(\alpha) \hat{f}_2(1-\alpha)$给出，其中$\hat{f}$为梅林变换。
• 猜想弗罗利赫映射$Fr$为$\mathbb{Z}$-线性，并保持卷积与对偶性：$Fr(f_1 * f_2) = Fr(f_1) * Fr(f_2)$与$Fr(f^\natural) = Fr(f)^\natural$，其中$f^\natural(x) = x^{-1}f(x^{-1})$。
• 若函数空间$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$中存在一个函数$f$，使得$\sum_{\xi(\alpha)=0} \hat{f}(\alpha) \overline{\hat{f}(1-\bar{\alpha})} < 0$，则由Castelnuovo-Severi不等式可推出黎曼猜想。
• 整个框架猜想足够丰富，可通过基本函数的$\mathbb{Z}$-线性组合、卷积与对偶生成所有此类函数，其中$\mathcal{W}(\mathbb{R}^+)$为$\sum_{i,j} m_{i,j} f_{i_1} * \cdots * f_{i_k} * f_{j_1}^\natural * \cdots * f_{j_l}^\natural$的$\mathbb{Z}$-张量。