[论文解读] Non-Additivity of the Entanglement of Purification (Beyond Reasonable Doubt)

Jianxin Chen, Andreas Winter|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文通过证明 $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ 的凸性，提供了强有力的证据表明纯化纠缠（EoP）是非可加的。通过对两比特 Werner 状态的数值分析，表明 $E_P^\infty(W(0.005)) < E_P(W(0.005))$，暗示了非可加性，且正规化值的基准上界为 0.9663，数值估计显示单拷贝 EoP 超过此值，强烈表明非可加性几乎无可置疑。

ABSTRACT

We demonstrate the convexity of the difference between the regularized entanglement of purification and the entropy, as a function of the state. This is proved by means of a new asymptotic protocol to prepare a state from pre-shared entanglement and by local operations only. We go on to employ this convexity property in an investigation of the additivity of the (single-copy) entanglement of purification: using numerical results for two-qubit Werner states we find strong evidence that the entanglement of purification is different from its regularization, hence that entanglement of purification is not additive.

研究动机与目标

• 研究纯化纠缠的可加性，这是量子信息理论中的关键度量，用于量化混合态中的总关联性。
• 确定正规化纯化纠缠 ($E_P^\infty$) 是否等于单拷贝纯化纠缠 ($E_P$)，这将意味着在单向 LOCC 下纠缠代价具有单字母公式。
• 为通过 $E_P^\infty - S(\rho)$ 的凸性性质严格建立 $E_P^\infty$ 的上界，提供一个严谨的分析框架。
• 通过对两比特 Werner 状态数值探测 $E_P(\rho)$ 和 $E_P^\infty(\rho)$ 的行为，以检测潜在的非可加性。

提出的方法

• 通过构造一种利用局部操作和预共享纠缠制备态的新渐近协议，证明 $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ 关于 $\rho$ 是凸的。
• 将 $E_P^\infty - S$ 的凸性用作检测非可加性的充分条件：若 $E_P(\rho) - S(\rho)$ 不是凸的，则 $E_P^\infty(\rho) \neq E_P(\rho)$。
• 应用数值优化计算 Werner 状态 $W(\theta)$ 的 $E_P(\rho)$ 上界，将局部极小值用作可行的上界。
• 建立基准：通过将凸性不等式应用于 $\rho = W(0)$ 和 $\rho = W(0.01)$，得出 $E_P^\infty(W(0.005)) \leq 0.9663$。
• 将数值估计 $E_P(W(0.005)) \gtrsim 0.99$ 与上界 0.9663 进行比较，推断出非可加性。
• 利用 Horodecki 和 Piani（2012）提出的单重性关系，将 EoP 的非可加性与密集编码中量子优势的非可加性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯化纠缠是否可加，即对所有双粒子混合态是否都有 $E_P(\rho \otimes \sigma) = E_P(\rho) + E_P(\sigma)$？
• RQ2 是否可以利用 $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ 的凸性来检测纯化纠缠的非可加性？
• RQ3 对于两比特 Werner 状态，当 $\theta$ 较小时，$E_P^\infty(W(\theta))$ 是否严格不同于 $E_P(W(\theta))$？
• RQ4 满足 $\frac{1}{n}E_P(\rho^{\otimes n}) < E_P(\rho)$ 的最小 $n$ 是多少？是否可以对其进行估计？
• RQ5 纯化纠缠的非可加性是否意味着密集编码中量子优势的非可加性？

主要发现

• $E_P^\infty(\rho) - S(\rho)$ 关于 $\rho$ 是凸的，确立了一个强有力的分析工具，用于探测非可加性。
• 数值结果表明 $E_P(W(0.01)) \leq 0.9226$，且 $E_P(W(0)) = 1$，为凸性检验提供了基准。
• 通过使用 $W(0)$ 和 $W(0.01)$ 的平均值，利用凸性不等式得出上界 $E_P^\infty(W(0.005)) \leq 0.9663$。
• 数值估计表明 $E_P(W(0.005)) \gtrsim 0.99$，超过 0.9663 的上界，意味着 $E_P^\infty(W(0.005)) < E_P(W(0.005))$。
• 这为纯化纠缠是非可加的提供了强有力的数值证据，除非存在严重的数值误差。
• 该结果意味着对于某些 Werner 状态，密集编码中的量子优势是非可加的，解决了 Horodecki 和 Piani（2012）提出的问题。