[论文解读] Non-anomalous non-invertible symmetries in 1+1D from gapped boundaries of SymTFTs

Pavel Putrov, Rajath Radhakrishnan|arXiv (Cornell University)|May 7, 2024

Atomic and Subatomic Physics Research被引用 8

一句话总结

本文将 Lagrangian algebras（用于分类 2+1 维 SymTFT Z(C) 的 gapped 边界）与具有对称性 C 的 1+1D QFT 中的非异常线算符联系起来，提供非异常 gauging 的准则以及一个 bulk-boundary 映射，该映射可在共享同一 SymTFT 的融合范畴之间传输代。

ABSTRACT

We study the anomalies of non-invertible symmetries in 1+1D QFTs using gapped boundaries of its SymTFT. We establish the explicit relation between Lagrangian algebras which determine gapped boundaries of the SymTFT, and algebras which determine non-anomalous/gaugeable topological line operators in the 1+1D QFT. If the Lagrangian algebras in the SymTFT are known, this provides a method to compute algebras in all fusion categories that share the same SymTFT. We find necessary conditions that a line operator in the SymTFT must satisfy for the corresponding line operator in the 1+1D QFT to be non-anomalous. We use this constraint to show that a non-invertible symmetry admits a 1+1D trivially gapped phase if and only if the SymTFT admits a magnetic Lagrangian algebra. We define a process of transporting non-anomalous line operators between fusion categories which share the same SymTFT and apply this method to the three Haagerup fusion categories.

研究动机与目标

• 理解 SymTFT Z(C) 的 gapped 边界如何对应具有对称性 C 的 1+1D QFT 中的非异常线算符。
• 在 Z(C) 中的 Lagrangian algebras 与在 C 中确定可控线的代之间建立显式关系。
• 提供实用准则，通过 bulk-boundary 映射识别非异常线及其 Morita 等价类，以实现物理上等价的 gauging。
• 演示如何从已知的 Lagrangian algebras 计算出所有共享同一 SymTFT 的融合范畴中的代。
• 将该框架应用于 Haagerup 融合范畴等示例，并讨论在不同范畴之间传输非异常线。

提出的方法

• 定义 Z(C) 中的 Lagrangian algebras L，它们决定 gapped 边界。
• 使用 bulk-to-boundary 映射 F: Z(C) -> C，将 L 与 C 中的非异常线算符 F(L) 联系起来。
• 证明 F(L) 是非异常线算符，其 Morita 等价类捕捉物理上等价的 gauging（定理 5.1）。
• 将 C 中代对象的乘法与相应 Lagrangian algebra L 的乘法数据联系起来（显式公式，Eq. 32）。
• 引入 boundary-to-bulk 映射 K，以确定给定边界代对应的 Lagrangian algebra。
• 讨论可逆对称性这一特例并给出相关结果（定理 5.2）。
• 描述如何在共享同一 SymTFT 的融合范畴之间传输非异常线算符，并将其应用于 Haagerup 范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 SymTFT Z(C) 的 gapped 边界如何编码 具有对称性 C 的 1+1D QFT 中的非异常/可控线算符？
• RQ2 Z(C) 中的 Lagrangian algebras 与在 C 中确定可控线的代之间的明确关系是什么？
• RQ3 在 C 中何时存在一个 Lagrangian algebra 于 Z(C) 中，从而实现非异常 gauging？
• RQ4 如何在共享同一 SymTFT 的融合范畴之间传输非异常线算符？
• RQ5 bulk-boundary 映射在从已知的 Z(C) 的 Lagrangian alge园代导出 C 中的代（反之亦然）中起到什么作用？

主要发现

• Z(C) 中的 Lagrangian algebra L 可产生一个 bulk-to-boundary 融合对象 F(L)，它是在 C 中的代对象之和，并且是非异常的。
• 包含在 F(L) 中的 C 的可控代的 Morita 等价类捕捉物理上等价的 gaugings。
• 存在一个将 C 中代 A 的乘法與对应的 Lagrangian algebra L 的乘法数据相关联的显式公式（Eq. 32）。
• bulk-to-boundary 与 boundary-to-bulk 映射将 Z(C) 中的 L 与 C 中的非异常线算符连接起来，使得可以从 C 中的代确定 gapped 边界，反之亦然。
• 对于模态 C，L 与 F(L) 具有与表面算符作用于线及其被 Gauge 的代相关的 bulk 解释。
• 该框架能够通过 C 中的代来对在 Z(C) 中承认 Lagrangian algebra 的线算符进行分类，并促进在共享的 SymTFT 之间传输非异常线（以 Haagerup 范畴为例进行说明）。