[论文解读] Non-arbitrage for Informational Discrete Time Market Models

Tahir Choulli, Jun Deng|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文確立了在離散時間市場模型中引入內部信息（以隨機時間 τ 表示）時，非套利性質得以保持的條件。本文證明，在 τ 的條件較為寬鬆的情況下，非套利性質是穩定的，並提供了確保對任何市場均保持非套利性的 τ 的必要且充分條件，同時透過具體例子說明當這些條件不成立時，套利如何產生。

ABSTRACT

This paper focuses on the stability of the non-arbitrage condition in discrete time market models when some unknown information $τ$ is partially/fully incorporated into the market. Our main conclusions are twofold. On the one hand, for a fixed market $S$, we prove that the non-arbitrage condition is preserved under a mild condition. On the other hand, we give the necessary and sufficient equivalent conditions on the unknown information $τ$ to ensure the validity of the non-arbitrage condition for any market. Two concrete examples are presented to illustrate the importance of these conditions, where we calculate explicitly the arbitrage opportunities when they exist.

研究动机与目标

• 研究以隨機時間 τ 表示的內部信息如何影響離散時間金融市場中的非套利條件。
• 確定在將新資訊納入市場過濾系統時，τ 的何種條件可使非套利性質得以保持。
• 提供 τ 的必要且充分條件，使得對任何基礎市場過程 S，非套利性質均成立。
• 透過具體例子說明，當資訊引入不當時，套利機會如何產生。

提出的方法

• 本文透過一個隨機時間 τ 來建模內部信息，其中 τ 不一定是原始過濾系統 F 的停時。
• 引入過濾系統 G = F ∨ H 的漸進擴張，其中 H 是由 τ 生成的過濾系統，並研究其對資產價格過程 S 的本地鞅性質的影響。
• 關鍵技術包括使用密度過程 Z 及其對偶過程 Z̃，以分析測度變換及在擴張過濾系統 G 下的本地鞅性質。
• 本文推導出涉及 E[ΔS₂Δm₂|F₁] = 0 以及 Z₁ 和 Z̃₂ 行為的條件，以判斷 S 是否仍為 G-本地鞅。
• 應用資產定價基本定理，將非套利性與在 G 下等價本地鞅測度的存在性聯繫起來。
• 在兩狀態與三狀態模型中進行明確計算，以驗證理論條件，並展示當條件不成立時套利如何產生。

实验结果

研究问题

• RQ1 當隨機時間 τ 滿足何種條件時，將 τ 納入市場過濾系統後，非套利性質得以保持？
• RQ2 使非套利性質對任何市場過程 S 均成立的 τ 的必要且充分條件為何？
• RQ3 當 τ 不滿足所推導出的條件時，如何導致離散時間模型中套利機會的產生？
• RQ4 過濾系統的漸進擴張如何影響資產價格過程 S 的本地鞅性質？
• RQ5 能否構造出 τ 導致套利的明確例子？套利策略的結構為何？

主要发现

• 若 τ 滿足較為寬鬆的可積性與可測性條件，則對固定的市場 S，非套利性質得以保持，確保停時過程 S^τ 不會引入套利。
• 對任何市場 S 均保持非套利性的必要且充分條件是 E[ΔS₂Δm₂|F₁] = 0，此條件可確保 S 在擴張過濾系統 G 下仍為 G-本地鞅。
• 在例 1.2 中，當 τ = 1 在 {ω₃} 上且在其他地方為 2 時，過程 S^τ 不再是本地鞅，且在時間 1 對 {ω₃, ω₄} 做賣空操作可獲得確定利潤，從而確認套利存在。
• 在例 1.3 中，當 τ₁ 定義為在 {ω₃} 上為 1，其他地方為 2 時，條件 E[ΔS₂Δm₂|F₁] = 0 成立，且 S 仍為 G-本地鞅，表示在擴張市場中無套利。
• 本文表明，當集合 {ΔS₂ ≠ 0} ∩ {Z₁ > 0} ∩ {Z̃₂ = 0} 或 {ΔS₂ ≠ 0} ∩ {Z̃₂ = 1} ∩ {Z₁ < 1} 非空時，套利即會產生，從而提供了一個精確的套利存在性判據。
• 本文證明，由 S^G₂(ω₃) = dS₀ 和 S^G₂(ω₄) = dS₀ 定義的過程 S^G 為 G-本地鞅，從而確認在 τ₁ 為誠實時間且條件滿足時，非套利性成立。