[论文解读] Non-Arbitrage up to Random Horizon for Semimartingale Models

Anna Aksamit, Tahir Choulli+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用 13

一句话总结

本文確立了在局部鞅資產價格過程於隨機時間被吸收時，No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk（NUPBR）性質得以保持的必要與充分條件。透過漸進式濾波擴張與局部鞅折扣因子技術，本文描述了維持NUPBR的市場模型與隨機時間的組合，並識別出在所有模型中普遍保持NUPBR的隨機時間。

ABSTRACT

This paper addresses the question of how an arbitrage-free semimartingale model is affected when stopped at a random horizon. We focus on No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (called NUPBR hereafter) concept, which is also known in the literature as the first kind of non-arbitrage. For this non-arbitrage notion, we obtain two principal results. The first result lies in describing the pairs of market model and random time for which the resulting stopped model fulfills NUPBR condition. The second main result characterises the random time models that preserve the NUPBR property after stopping for any market model. These results are elaborated in a very general market model, and we also pay attention to some particular and practical models. The analysis that drives these results is based on new stochastic developments in semimartingale theory with progressive enlargement. Furthermore, we construct explicit martingale densities (deflators) for some classes of local martingales when stopped at random time.

研究动机与目标

• 確定在局部鞅資產價格過程於隨機時間停止時，NUPBR性質得以保持的條件。
• 識別出對任何初始局部鞅市場模型均保持NUPBR性質的隨機時間。
• 建立一個一般框架，用於透過漸進式濾波擴張分析隨機時 horizon 下的非套利性質。
• 為特定類型模型中停止的局部鞅構造顯式局部鞅折扣因子。
• 探討初始市場模型結構與隨機時間性質之間的相互作用，特別是在擬左連續過程與具有預測跳變的稀疏過程中。

提出的方法

• 利用漸進式濾波擴張來建模隨機時間（即隨機資訊到達）在局部鞅框架下的影響。
• 應用局部鞅的隨機微積分，特別是隨機測度與過程的可選與預測投影。
• 使用局部鞅折扣因子（或隨機貼現因子）的概念，來表徵停止模型中NUPBR條件。
• 引入並分析過程 $ Z = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{\tau > \cdot\}} \mid \mathcal{F}_\cdot] $，即生存過程，以描述擴張濾波的動態。
• 在擴張濾波 $ \mathbb{G} $ 下建立局部鞅的新可選分解公式，使停止的局部鞅得以分解。
• 利用補償器在 $ \mathbb{F} $-可預測與 $ \mathbb{G} $-局部可積的性質，推導出隨機時間 $ \tau $ 跳變結構的條件。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些組合 $ (S, \tau) $，其中 $ S $ 為局部鞅且 $ \tau $ 為隨機時間，停止過程 $ S^\tau $ 滿足NUPBR條件？
• RQ2 哪些隨機時間 $ \tau $ 對於任何初始局部鞅市場模型 $ S $ 均保持NUPBR性質？
• RQ3 隨機時間 $ \tau $ 的結構，特別是其可預測性與對 $ \mathbb{F} $-停時的避開性，如何影響NUPBR的保持？
• RQ4 何種條件可確保停止模型中 $ S^\tau $ 的局部鞅折扣因子存在且行為良好？
• RQ5 如何利用在擴張濾波 $ \mathbb{G} $ 下局部鞅的可選分解來表徵NUPBR條件？

主要发现

• 在適當的 $ \tau $ 條件下，$ S^\tau $ 保持NUPBR性質，當且僅當 $ S $ 的跳變測度在 $ \mathbb{G} $-可選投影下的補償器在 $ \mathbb{F} $ 下局部可積。
• 對於擬左連續過程，$ S^\tau $ 保持NUPBR性質，當且僅當 $ \tau $ 几乎必然避開所有 $ \mathbb{F} $-停時，且 $ \mu^\tau $ 的補償器在 $ \mathbb{F} $ 下局部可積。
• 隨機時間 $ \tau $ 對所有初始模型 $ S $ 均保持NUPBR性質，當且僅當 $ \tau $ 是 $ \mathbb{G} $-停時，且 $ \mu^\tau $ 的補償器在 $ \mathbb{F} $ 下局部可積。
• 針對具有預測跳變的稀疏過程，利用 $ \mathbb{F} $-可預測投影的強度測度，為停止的局部鞅構造出顯式局部鞅折扣因子。
• 證明顯示，$ hI_{\{Z_- \geq \delta\}} \star (\widetilde{Z} \cdot \mu) \in \mathcal{A}^+_{\text{loc}}(\mathbb{F}) $ 當且僅當 $ hI_{\{Z_- \geq \delta\}}I_{[\![0,\tau]\!]} \star \mu \in \mathcal{A}^+_{\text{loc}}(\mathbb{G}) $，提供了一個關鍵的可積性條件。
• 定義為 $ Z_t = \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\{\tau > t\}} \mid \mathcal{F}_t] $ 的生存過程 $ Z $，在描述擴張濾波的動態與補償器的可積性方面發揮核心作用。