[论文解读] Non-Archimedian integrals and stringy Euler numbers of log terminal pairs

Victor V. Batyrev|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 11

一句话总结

本文通过代数簇弧的非阿基米德积分，为卡瓦马塔对数终端对定义了弦理论欧拉数，证明了这些数与物理学家通过Dixon-Harvey-Vafa-Witten公式定义的轨道欧拉数一致。该框架解决了雷德关于对Gorenstein商奇点的创痕性解析的欧拉数的猜想。

ABSTRACT

Using non-Archimedian integration over spaces of arcs of algebraic varieties, we define stringy Euler numbers associated with arbitrary Kawamata log terminal pairs. There is a natural Kawamata log terminal pair corresponding to an algebraic variety V having a regular action of a finite group G. In this situation we show that the stringy Euler number of this pair coincides with the physicists' orbifold Euler number defined by the Dixon-Harvey-Vafa-Witten formula. As an application, we prove a conjecture of Miles Reid on the Euler numbers of crepant desingularizations of Gorenstein quotient singularities.

研究动机与目标

• 通过非阿基米德积分，将弦理论欧拉数的概念推广到任意卡瓦马塔对数终端对。
• 通过将弦理论不变量与Dixon-Harvey-Vafa-Witten公式定义的轨道欧拉数联系起来，建立代数几何与弦理论之间的联系。
• 解决迈尔斯·雷德关于Gorenstein商奇点的创痕性消去的欧拉数的猜想。
• 为具有群作用的奇异代数簇提供计算弦理论不变量的几何框架。

提出的方法

• 利用代数簇的弧空间上的非阿基米德积分来定义弦理论不变量。
• 应用动机积分理论来计算对数终端对的弦理论欧拉数。
• 从具有有限群作用的代数簇构造一个自然的卡瓦马塔对数终端对。
• 依赖弧空间的结构和动机测度，推导出与解析选择无关的不变量。
• 利用非阿基米德积分与双有理几何的相容性，确保在创痕性解析下不变。
• 应用Dixon-Harvey-Vafa-Witten论文中的公式，将弦理论欧拉数与轨道欧拉数匹配。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意卡瓦马塔对数终端对定义弦理论欧拉数？
• RQ2 非阿基米德积分与弦理论中轨道欧拉数之间有何关系？
• RQ3 商奇点的弦理论欧拉数是否与通过D-H-V-W公式计算的轨道欧拉数一致？
• RQ4 能否在奇异代数簇的不同创痕性解析之间一致地计算弦理论欧拉数？
• RQ5 雷德关于Gorenstein商奇点的创痕性解析的欧拉数的猜想是否成立？

主要发现

• 通过非阿基米德积分定义的卡瓦马塔对数终端对的弦理论欧拉数，与Dixon-Harvey-Vafa-Witten公式给出的轨道欧拉数一致。
• 该方法为对数终端对提供了具有一致性且双有理不变的弦理论欧拉数定义。
• 本文证明了Gorenstein商奇点的弦理论欧拉数等于轨道欧拉数，从而证实了雷德的猜想。
• 该构造在创痕性解析下保持不变，确保弦理论欧拉数是奇异代数簇的一个良好定义的不变量。
• 该框架适用于任意具有有限群作用的代数簇，可导出一个自然的对数终端对，其弦理论不变量与轨道不变量一致。