[论文解读] Non-Asymptotic Analysis of Robust Control from Coarse-Grained Identification

Stephen Tu, Ross Boczar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2017

Control Systems and Identification参考文献 3被引用 55

一句话总结

本文推导了在输入约束下识别稳定 LTI 系统的短 FIR 模型的非渐近样本量界，表明粗糙的 FIR 模型足以用于鲁棒控制，并给出最优的实验设计策略。

ABSTRACT

This work explores the trade-off between the number of samples required to accurately build models of dynamical systems and the degradation of performance in various control objectives due to a coarse approximation. In particular, we show that simple models can be easily fit from input/output data and are sufficient for achieving various control objectives. We derive bounds on the number of noisy input/output samples from a stable linear time-invariant system that are sufficient to guarantee that the corresponding finite impulse response approximation is close to the true system in the $\mathcal{H}_\infty$-norm. We demonstrate that these demands are lower than those derived in prior art which aimed to accurately identify dynamical models. We also explore how different physical input constraints, such as power constraints, affect the sample complexity. Finally, we show how our analysis fits within the established framework of robust control, by demonstrating how a controller designed for an approximate system provably meets performance objectives on the true system.

研究动机与目标

• 通过使用粗糙的 FIR 模型，在辨识努力与鲁棒控制性能之间取得平衡。
• 提供关于 FIR 近似与真实系统在 H∞ 范数上距离的概率保证。
• 在 l2 与 l∞ 输入约束下开发最优的实验设计方法。
• 证明简单的 FIR 模型能够在对真实系统具有可证明保证的前提下实现鲁棒控制器合成。

提出的方法

• 用长度为 r 的 FIR 近似 G_r 来建模未知的稳定离散时间系统 G。
• 获得带噪声的输入/输出测量，并通过普通最小二乘法估计 FIR 系数。
• 推导 ||G−Ĝ_r||_∞ 相对于 m、r、σ、ε、δ 的非渐近界。
• 利用 A-最优设计理念设计输入以优化估计精度；给出 l2 的精确结果并对 l∞ 约束给出具建设性保证。
• 证明极小极大下界，显示所得到的收敛速率近似最优。
• 证明基于 FIR 估计的 H∞ 回路整形控制器能在真实系统上保证稳定性与性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在识别长度为 r 的 FIR 近似稳定 LTI 系统时，保证 H∞ 误差 ≤ ε 的有限样本复杂度是多少？
• RQ2 输入约束（l2 与 l∞）如何影响最优的实验设计及由此产生的样本复杂度？
• RQ3 针对近似 FIR 模型设计的控制器是否能在概率不确定性边界下对真实系统保证性能？
• RQ4 在有界输入设计下估计 FIR 系数的极小极大界限是什么？
• RQ5 如何通过蒙特卡罗方法从数据中估计概率界？

主要发现

• 对于 l2 约束输入，当 m ≥ C(σ^2 r/ε^2)(log r + log(1/δ)) 且 T=2r 时，H∞ 误差至多为 ε，且概率不小于 1−δ。
• 对于 l∞ 约束输入，当 m ≥ C(σ^2/ε^2)(log r + log(1/δ)) 且 T=2r 时，H∞ 误差至多为 ε，且概率不小于 1−δ。
• 在较高信噪比情形（σ/ε ≫ 1）下，本文指出样本复杂度在 l∞ 下为 Ō(σ^2 r/ε^2)，在 l2 下为 Ō(σ^2 r^2/ε^2)。
• 信息理论上的极小极大下界与上界在常数尺度上吻合，确立了 FIR 识别速率的近似最优性。
• 在实验中，基于估计的 FIR 模型设计的控制器在真实系统上实现了稳定性与性能保证。
• 作者提出实用的蒙特卡罗方法以直接从数据中估计概率界。